Können wir abstrakte Gegenstände sehen?

[Jörn P Budesheim]

(Hier ein Beispiel für einen Wissenschaftler, der diese Auffassung offenbar teilt: Field-Medaillen-Gewinner Peter Scholze: „Ich denke tatsächlich, dass die Zahlen unabhängig von uns sind.“ Es sind also nicht unsere „Erfindungen“.)

Ich bin zwar nur ein geistiger Zwerg im Vergleich mit Scholze; aber ich denke, er hat unrecht in Bezug auf die angebliche Wahrheit des mathematischen Platonismus.

Ergibt sich denn aus diesem kurzen Zitat-Schnipsel, dass Peter Scholze einen mathematischen Platonismus vertritt? (Spoiler: Soweit ich weiß, tut er es.) Die Frage ist aber dennoch berechtigt. Man könnte glauben, dass die Zahlen unabhängig von uns sind, ohne damit einen Platonismus vertreten zu müssen. Wäre für dich auch jemand, der glaubt, dass die Naturgesetze unabhängig von uns sind, automatisch ein Platonist? Wenn man hingegen der Ansicht ist, dass Zahlen ein Aspekt der tatsächlichen Konstitution der Wirklichkeit (zu der wir selbst offenbar gehören) sind, dann ist es kein Wunder, dass wir Sinne haben, sie zu erkennen, nämlich (vielleicht unter anderem) unsere Rationalität. Dass den Strukturen der Wirklichkeit diverse Erkenntnisvermögen entsprechen, halte ich für ziemlich naheliegend.

Man kann also Scholzes Position (Zahlen sind keine Erfindungen) teilen, ohne im strengen Sinn Platonist zu sein: Zahlen sind reale, geistunabhängige Strukturen, die als konstitutiver Rahmen der Welt fungieren. Sie sind die „Spielregeln“ der Wirklichkeit, die wir nicht erfinden, sondern durch unsere Rationalität als Teil der Architektur der Wirklichkeit selbst entdecken. Platonismus ist dabei nur eine mögliche metaphysische Deutung dieses Befundes.

[Consul]

Ergibt sich denn aus diesem kurzen Zitat-Schnipsel, dass Peter Scholze einen mathematischen Platonismus vertritt? (Spoiler: Soweit ich weiß, tut er es.)

Hier sind eindeutige Belege dafür, dass Scholze mathematischer Platonist ist:

"Natural operations one can perform with objects naturally lead to the idea that one can add, and multiply, natural numbers; and that these operations on numbers make sense independently of how a natural number might be embodied as a number of objects in our surrounding world. It is here that I have the clearest sense that we are dealing with an entity that exists in and of itself." (p. 98)
———
"Natürliche Operationen, die man mit Objekten durchführen kann, führen ganz natürlich zu der Idee, dass man natürliche Zahlen addieren und multiplizieren kann; und dass diese Operationen mit Zahlen unabhängig davon Sinn ergeben, wie eine natürliche Zahl als Anzahl von Objekten in unserer umgebenden Welt verkörpert sein könnte. Hier habe ich das deutlichste Gefühl, dass wir es mit einer Entität zu tun haben, die an sich und durch sich selbst existiert." (p. 98) [übersetzt von Google]

"…that platonic world of numbers." (p. 99)
———
"…jene platonische Welt der Zahlen." (p. 99)

"…a platonic world created by nothing but the natural numbers themselves?
Indeed, what I want to convey in this note is the rich world that reveals itself by studying the platonic world of numbers." (p. 99)
———
"…eine platonische Welt, die allein aus den natürlichen Zahlen selbst geschaffen ist?
Tatsächlich möchte ich in dieser Abhandlung die reichhaltige Welt vermitteln, die sich durch das Studium der platonischen Zahlenwelt offenbart." (p. 99) [übersetzt von Google]

"Thus, in my life as a researcher in number theory, it feels to me like I am learning things about those most basic objects of inquiry, the natural numbers. And by doing so, a whole geometric world reveals itself! Not having any direct sensory access to the world of natural numbers, progress is naturally slow and contingent, but it seems steady, and pointing in a clear direction. And it certainly feels like uncovering a platonic world of itself." (p. 101)
———
"So fühlt es sich für mich als Forscher in der Zahlentheorie an, als würde ich Dinge über jene grundlegendsten Objekte der Untersuchung lernen, die natürlichen Zahlen. Und dabei offenbart sich mir eine ganze geometrische Welt! Da ich keinen direkten sinnlichen Zugang zur Welt der natürlichen Zahlen habe, ist der Fortschritt naturgemäß langsam und ungewiss, aber er scheint stetig und weist in eine klare Richtung. Und es fühlt sich tatsächlich an, als würde ich eine platonische Welt an sich entdecken." (p. 101) [übersetzt von Google]

(Scholze, Peter. "On Platonism in Mathematics." In Basic Science for Human Development, Peace, and Planetary Health [Pontificiae Academiae Scientiarum Acta 27], ed. by Joachim von Braun et al., 98-102. Libreria Editrice Vaticana, 2023.)

Kostenlos runterladbar: Basic Science for Human Development, Peace, and Planetary Health (PDF)

[Dynamis]

Zahlen könnten unabhängig von uns sein, obwohl sie nicht existieren. Unabhängig sind sie deswegen, weil mathematische Ergebnisse unabhängig davon sind, wer sie verifiziert. Das impliziert aber noch nicht ihre Existenz.

[Jörn P Budesheim]

Hier das Zitat mit etwas mehr Zusammenhang.

Ich bin im Grunde meines Wesens Platonist. Ich denke tatsächlich, dass die Zahlen unabhängig von uns sind. In welchem Sinne sie „existieren“ ist vielleicht schwer zu sagen, sicherlich nicht als konkrete Objekte unserer Welt. Ich fühle mich aber wie ein Physiker, der die zugrundeliegenden Gesetze der Zahlen erforscht. So wie der Physiker die Welt ergründet, versuche ich einfach, die ganzen Zahlen zu erforschen.

Sind Ihre mathematischen Ergebnisse dann auch Teil unseres Weltverstehens? Oder ist es einfach nur ein Relationensystem unseres Denkens?

Die Zahlen sind Teil von unserer Welt. Es gibt so viel, was man durch Zahlen beschreiben kann. Und es gibt ja diese berühmte Formulierung von der „unreasonable effectiveness of mathematics“, also dem unbeabsichtigten Beitrag der Mathematik für die Welt. Es ist erstaunlich, wie relevant die abstrakte Beschäftigung mit den Zahlen, mit der Mathematik für die Wirklichkeit ist.

Gilt die Mathematik also überall – in jedem Winkel des Universums?

Gerade die Mathematik ist etwas, von dem ich sagen würde, dass es völlig unabhängig von uns gilt. Wenn man allein von den Zahlen ausgeht – die müssen überall im Universum gleich sein. Solange die Zahlen dieselben sind, ist auch die Mathematik dieselbe. In jedem Teil des Universums gilt auch das, was wir hier auf der Erde an mathematischen Erkenntnissen gewonnen haben.

Quelle: https://www.berliner-zeitung.de/zukunft ... z-li.55631

[Dynamis]

Ja, Scholze sagt ja auch "In welchem Sinne sie „existieren“ ist vielleicht schwer zu sagen, sicherlich nicht als konkrete Objekte unserer Welt." Und was "existieren" dann heißen soll, das frage ich mich auch.

Scholze sagt, dass auch Außerirdischen, die mit Zahlen rechnen, zu denselben Ergebnissen kommen. Woher er das wissen will, ist mir schleierhaft. Seine Äußerung weist jedoch auf die Kulturunabhängigkeit mathematischer Aussagen hin. Der Satz des Pythagoras gilt in Europa genauso wie in China.

Zur „unreasonable effectiveness of mathematics“, das wundert mich jetzt weniger. Mathematik ist nun einmal ein Bestandteil unserer Sprache, gerade in der Wissenschaft, und dass wir bei der Beschreibung der Welt auf irgendeine Sprache zurückgreifen müssen, versteht sich von selbst. Die Mathematik ist aufgrund ihres abstrakten und allgemeinen Charakters geradezu dafür prädestiniert, dass sie in vielen unterschiedlichen Weltbeschreibungen eingesetzt wird.

[Gregor S]

Wir können abstrakte Dinge deuten, aber nicht sehen. Das ist wie die 5. Dimension eines Vektorraums.

[Jörn P Budesheim]

Wir können abstrakte Dinge sehen: Zum Beispiel Farben. Farben sind abstrakt, weil sie nicht "für sich allein" existieren kann, sondern immer ein Substrat (einen Träger) benötigen, an dem sie vorkommen. Es ist ja das Blatt, was grün ist. Und viele andere Dinge können natürlich ebenfalls grün sein.

[Gregor S]

Farben sind nicht abstrakt

[Consul]

Farben sind nicht abstrakt.

Jörn versteht unter "abstrakt" nicht das, was in der gegenwärtigen Ontologie unter der Bezeichnung Platonismus hauptsächlich darunter verstanden wird. Zur Erläuterung empfehle ich meine gesamte Diskussion mit ihm in diesem Strang als Lektüre!

…Abstrakte Gegenstände wie Farben und Klänge kann man im traditionellen Sinne sinnlich wahrnehmen, also sehen und hören.

Weder physikalische (physikalisch charakterisierte/definierte) Farben oder Klänge als "primäre Qualitäten" noch phänomenale (phänomenologisch charakterisierte/definierte) Farben oder Klänge als "sekundäre Qualitäten" sind abstrakte Entitäten (im platonistischen Sinn von "abstrakt").

[Jörn P Budesheim]

Ja, Scholze sagt ja auch "In welchem Sinne sie „existieren“ ist vielleicht schwer zu sagen, sicherlich nicht als konkrete Objekte unserer Welt." Und was "existieren" dann heißen soll, das frage ich mich auch.

Scholze sagt, dass auch Außerirdischen, die mit Zahlen rechnen, zu denselben Ergebnissen kommen. Woher er das wissen will, ist mir schleierhaft. Seine Äußerung weist jedoch auf die Kulturunabhängigkeit mathematischer Aussagen hin. Der Satz des Pythagoras gilt in Europa genauso wie in China.

Zur „unreasonable effectiveness of mathematics“, das wundert mich jetzt weniger. Mathematik ist nun einmal ein Bestandteil unserer Sprache, gerade in der Wissenschaft, und dass wir bei der Beschreibung der Welt auf irgendeine Sprache zurückgreifen müssen, versteht sich von selbst. Die Mathematik ist aufgrund ihres abstrakten und allgemeinen Charakters geradezu dafür prädestiniert, dass sie in vielen unterschiedlichen Weltbeschreibungen eingesetzt wird.

Silvia Jonas skizziert in aller Kürze Vor- und Nachteile des mathematischen Platonismus. Sie ist zu 87 % sicher, dass der Platonismus richtig ist. :-)



Der Ausdruck Platonismus ist zwar eingebürgert, aber der sogenannte platonische Himmel, den er im Gepäck hat, ist störend, auch wenn er nur metaphorisch gemeint sein mag.

[Consul]

Hier das Zitat mit etwas mehr Zusammenhang.

Ich bin im Grunde meines Wesens Platonist. Ich denke tatsächlich, dass die Zahlen unabhängig von uns sind. In welchem Sinne sie „existieren“ ist vielleicht schwer zu sagen, sicherlich nicht als konkrete Objekte unserer Welt. …

Quelle: https://www.berliner-zeitung.de/zukunft ... z-li.55631

Es gibt nur einen Sinn, eine Bedeutung von "existieren". Unterschiedliche Arten von Existierendem dürfen nicht mit unterschiedlichen Arten des Existierens verwechselt werden!
Wenn abstrakte Objekte wie Zahlen existieren, dann unterscheiden sie sich von konkreten Objekten wie Steinen nicht dadurch, dass sie auf eine andere Art existieren, sondern einfach dadurch, dass sie eine andere Art von Objekten sind. Sie unterscheiden sich also hinsichtlich ihrer Essenz und nicht ihrer Existenz (vorausgesetzt, dass sowohl Abstrakta als auch Konkreta existieren).

"Ich finde den engen Sinn nutzlos, den manche Philosophen dem Begriff der Existenz gegenüber dem Begriff des Seins gegeben haben, nämlich konkretes Vorhandensein in Raum und Zeit. Wenn hier je eine solche spezielle Auffassung auftaucht, denke man sich existiert durch ist ersetzt. Wenn man vom Parthenon und von der Zahl 7 sagt, dass sie sind, so braucht man dabei keinen Unterschied in den Sinn von sein hineinzulegen. Der Parthenon ist ein räumlich und zeitlich festgelegter Gegenstand, während die Zahl 7 (wenn es so etwas gibt) eine andere Art von Ding ist. Aber das ist ein Unterschied zwischen den Objekten und nicht zwischen zweierlei Sinn von sein."

(Quine, W. V. O. Grundzüge der Logik. Übers. v. Dirk Siefkes. 7. Aufl. Frankfurt/Main: Suhrkamp, 1990. S. 255)

[Consul]

Scholze sagt, dass auch Außerirdischen, die mit Zahlen rechnen, zu denselben Ergebnissen kommen. …

Hier ist die wichtige Unterscheidung von Zahlen und Ziffern (Zahlzeichen) zu erwähnen. Die Zahl 12 ist etwas anderes als die Ziffer "12" oder das Zahlwort "zwölf".
Bei Ziffern/Zahlzeichen ist außerdem zwischen konkreten Exemplaren und abstrakten Typen zu unterscheiden, wobei selbst abstrakte Ziffertypen nicht dasselbe sind wie gleichfalls abstrakte Zahlen.
Wir haben es also mit drei verschiedenen ontologischen Fragen zu tun:

1. Existieren abstrakte Zahlen?
2. Existieren abstrakte Ziffertypen/Zahlworttypen/Zahlzeichentypen?
3. Existieren konkrete Zifferexemplare/Zahlwortexemplare/Zahlzeichenexemplare?

Die offensichtlich richtige Antwort auf 3 is JA, und meine Antwort auf 1 und 2 ist jeweils NEIN.
Niemand—auch kein mathematisches Genie wie Scholze—hat jemals im Geist oder auf Papier/an der Tafel/am Computer mit etwas anderem numerisch gerechnet als mit konkreten Zahlzeichenexemplaren!