Mathematik-Ecke

[Burkart]

Ist die Darstellung der Figuren wirklich willkürlich? Im Match zwischen Fischer und Spassky soll um jede Nuance gefeilscht worden sein, wenn ich mich an die Berichte, die ich darüber gelesen habe, richtig erinnere. Ich selbst spiele sehr oft online und ich lege größten Wert auf eine angenehme Darstellung. Aber das nur am Rande.

Würde mich nicht überraschen, wenn Fischer mit einem Mikroskop die Figuren auf Mikrometer genau untersucht hätte .
Aber ja, das ist mir auch sehr wichtig, am Brett muss ich beispielsweise auch immer erst die Figuren richten (der Kopf des Springers darf nicht Feigheit offenbarend und Flucht anzeigend zu mir zeigen, er muss für den Kampf gerüstet nach vorne zeigen ), was ja auch sehr viele Spieler machen.

Also meine Springer dürfen auch nicht Flucht anzeigen, aber müssen nach rechts/links gen Mitte schauen, damit sie am einfachsten zu erkennen sind (gegenüber Läufern u.ä.).

Ich glaube es gibt sogar eine Analogie: Schlussendlich ist die Darstellung mMn sozusagen "für die Natur" schon egal, der Läufer hat ja unabhängig von der Darstellung immer die gleiche Charakteristik, aber es gibt persönliche Präferenzen bezüglich der Ästhetik. In der Mathematik haben die Dinge auch eine spezifische Charakteristik, aber wie man diese einem Schüler beibringt, welche Erklärung er versteht, ist, meiner Erfahrung nach ganz ähnlich zur bevorzugten Darstellung der Schachfigur, von persönlichen Präferenzen abhängig, irgendwo eine Frage der Ästhetik und des Geschmacks.

Ich habe auch mal ein wenig Nachhilfe in Mathe gegeben. Ja, etwas beizubringen ist nicht immer einfach: Manchmal hilft "einfach machen" wie beim Kopfrechnen gegenüber Taschenrechner-Einsatz, manchmal Beispiele oder Vergleiche, die Balken-Waage als Gleichung z.B.

Gibt es Möglichkeiten? Ich für meinen Teil würde sagen: Ja, die gibt es. Da es das Schachspiel gibt, war es möglich, und wenn es Möglichkeiten gibt, hat es das Schachspiel als Möglichkeit "schon immer" gegeben. In dem Moment, in dem Schach zum ersten Mal gespielt wurde, wurde eine existierende Möglichkeit ergriffen.

Aber wenn man nun an die Außerirdischen aus dem Video denkt und sich fragt, ob sie Schach spielen, ist die Antwort wahrscheinlich nein. Warum? Weil es einfach zu unwahrscheinlich ist? Was heißt das? Hängt es mit der "unergründlichen Effektivität der Mathematik in den Naturwissenschaften" zusammen? Die Mathematik ist für die Naturwissenschaften ein unverzichtbares Werkzeug. Das kann meines Erachtens nicht bloß ein Zufall sein und es spricht auch nicht wirklich dafür, dass die Zahlen nicht in unserer Welt passen. Ich weiß nicht, ob man mit diesem Gedanken etwas anfangen kann, vielleicht eher nicht, aber da Schach jetzt ein Thema geworden ist, dachte ich, ich versuche es mal

Interessanter Gedanke. Vielleicht geht die Geschichte mit den Möglichkeiten in Richtung eben dieser "tieferen Wahrheiten". Schach und Go beispielsweise scheinen eine schwer zu fassende Verwandtschaft zu besitzen. Würden wir Go nicht kennen und kämen dann Aliens und würden uns Go zeigen, könnte ich mir vorstellen, dass wir sagen würden: "Oh, das ist ja ihre Version von Schach".

Sind es nicht vor allem die beiden komplexesten (und historischen) Brettspiele mit einfachen Figuren (z.B. lutschbar aussehende Drops ), sehr überschaubaren Regeln (mit dem Spiel auf Sieg u.ä.) für 2 Spieler, die während des Spielens äußerst komplex werden (können)?

So in der Richtung könnte ich mir das mit Mathematik vorstellen. Ich fand es nämlich interessant, dass diese Gruppe (Lurie, Tao, Taylor, Donaldson, Kontsevich) das irgendwo trennte: "Mathematik scheint entdeckt zu werden, aber bezüglich Aliens ist vieles unserer Mathematik wohl von unserer Physiologie abhängig".

Entdeckt werden deduktiv die Konsequenzen, die sich auf Basis der mathematischen Axiome ergeben. Ob man wegen 2*5 Finger das Dezimalsystem nimmt oder nicht... nun ja, praktische Feinheit(en).

Vielleicht wie bei Schach und Go, es gibt vielleicht diese, wie du sagst, Möglichkeiten, diese "Klasse" von Spielen die man auf die unterschiedlichsten Arten realisieren kann, aber es steckt trotzdem tieferes dahinter (2 Spieler, ein Brett, Figuren, Kampf, vollständige Information, ...) .

Richtig, es steckt unsere historische Kultur des Kämpfens dahinter, siehe Putin...
Ich spiele übrigens im Verein nach über 40 Jahren keine langen Partie wie in Mannschaftskämpfen mehr, u.a. weil ich dieses eigentlich unnützen Kämpfens überdrüssig geworden bin.

[Burkart]

Na ja, die sind historisch bzw. haben sich entwickelt

Und wie soll ich mir das Argument vorstellen? Wie lautet die Brückenregel, bzw. die Schlussregel?

Alle Dinge, die sich historisch entwickelt haben, sind willkürlich
Die Form der Schachfiguren hat sich historisch entwickelt
Also ist die Form der Schachfiguren willkürlich

Alle Dinge, die sich historisch entwickelt haben, sind willkürlich
Unser Wissen über die Gesetze der Natur hat sich historisch entwickelt
Also ist ist unser Wissen über die Gesetze der Natur willkürlich

Nicht willkürlich, sondern speziell (vor allem hinsichtlich Schach), z.T. hätte es sich auch anders entwickeln können (andere Schwerpunkte z.B.)

[Jörn Budesheim]

Aber ja, das ist mir auch sehr wichtig, am Brett muss ich beispielsweise auch immer erst die Figuren richten (der Kopf des Springers darf nicht Feigheit offenbarend und Flucht anzeigend zu mir zeigen, er muss für den Kampf gerüstet nach vorne zeigen :D ), was ja auch sehr viele Spieler machen.

Ich habe früher auch Turnier- und Mannschaftsschach gespielt, aber das ist schon ewig her. Eher im unteren Bereich, meine DWZ war so um die 1900. Analoges Schach habe ich schon lange nicht mehr gespielt. Aber wenn ich mich nicht ganz falsch erinnere, haben meine Springer eher ins Zentrum geschaut :) standen also beide leicht schräg. Interessant ist, dass ich beim Nachdenken über das Zurechtrücken der Figuren fast das Gefühl habe, sie in Daumen, Zeige- und Mittelfinger zu spüren :)

[Jörn Budesheim]

Während man bei Schach mit der Festlegung abstrakter Charakterisierung beginnt und dann eine Darstellung willkürlich wählt, untersuchen wir in der Mathematik die verschiedenen Darstellung um die abstraktere, tiefere Charakterisierung erst frei zu schürfen.

Ist die Darstellung der Figuren wirklich willkürlich?

Na ja, die sind historisch bzw. haben sich entwickelt (wie ja auch die Schachregeln).

Nicht willkürlich, sondern speziell ...

[Burkart]

In der Mathematik ist es aber meiner Sichtweise nach in einer Hinsicht umgekehrt, was sie so interessant und cool macht: Während man bei Schach mit der Festlegung abstrakter Charakterisierung beginnt und dann eine Darstellung willkürlich wählt, untersuchen wir in der Mathematik die verschiedenen Darstellung um die abstraktere, tiefere Charakterisierung erst frei zu schürfen.

Wie meinst du das, vielleicht anhand von Beispiel(en)?

Ist eine vereinfachte und überspitzte Darstellung, um meinen Punkt zu illustrieren:
Wenn ich darüber nachdenke, bin ich immer wieder aufs Neue über die absolute Genialität des Descart'schen Koordinatensystems erstaunt. Ich weiss, für uns ist das absolut natürlich und kaum noch einen Gedanken wert.

Stimmt, es ist für uns selbstverständlich geworden, ähnlich wie Landkarten u.ä. Ähnlich geht es uns übrigens mit den Zahlen selbst, die für uns noch viel mehr selbstverständlich geworden sind.
Aber stimmt schon, es hat die Mathematik sicher gut weitergebracht, vielleicht ähnlich gut wie die Einführung von mathematischen Notationen die "=", Wurzelsymbol usw.
Wir haben es halt beibehalten, eben weil es sich als so praktisch herausgestellt hat. Dagegen ist z.B. das uninäre Zahlensystem a la IIII für 4 eher nur noch historisch interessant und z.B. in den römschen Zahlen aufgegangen - wobei ich mich aber gerade daran erinnere, dass es mir als kleines Kind von meinem Vater(?) beigebracht worden ist.

Dinge zählen und Bilder zeichnen ist das Gleiche, so, wie dem hölzernen und dem digitalen Läufer die gleiche Charakteristik zugrunde liegt.

Das gleiche im gewissen Sinn, also deinem hier.
Aus menschlicher Sicht sind es natürlich sehr unterschiedliche, aber beides sehr hilfreiche Dinge:
Dinge zählen abstrahiert diese zu einer kurzen und knappen Zahl in unserem Kopf, Bilder zeichnen dagegen lässt unsere Gedanken uns in die Welt übertragen durch Bleistiftlinien oder digitale Graphen o.ä.
Etwas bildhaft zu machen hilft uns Menschen gerade, weil wir mit Bildern generell gut klarkommen. Nicht zufällig basieren Gedächtnisübungen gerne auch Bilder, z.B. Zahlenfolgen auf bildhafte Geschichten zu übertragen (wenn auch hier "nur" Bilder in unseren Köpfen).
Kämen wir mit Tönen besser klar, wer weiß, ob wir einiges Mathematisches nicht eher so darstellen würden. (Ich stelle mit PI übrigens als Melodie vor, je größer die Ziffer, desto höher der Ton, die 0 als Grundton, sagen wir C.)

[sybok]

Kämen wir mit Tönen besser klar, wer weiß, ob wir einiges Mathematisches nicht eher so darstellen würden.

Nur ein kurzer Hinweis, dazu ist mir ein TED-Talk eingefallen den ich gut fand "Math is the hidden secret to understanding the world | Roger Antonsen" (schau ich mir glaube ich in der Folge dieser Diskussion hier nochmals kurz an ).
Aber zu "Tönen" die Stelle ab 10:00 bis ca. 10:40 :

[Jörn Budesheim]

Dinge zählen und Bilder zeichnen ist das Gleiche

Nach Schellings abgründigen Spekulationen hätten wir mit einer Quelle der Geltung zu rechnen, die ohne Taten und Werke von Menschen zwar nicht sprudeln würde, aber dies auch nur dann vermag, wo Menschen in ihren Werken etwas hervortreten lassen, was nicht ihr Werk ist.

Ich habe gestern auch ein bisschen über diesen Zusammenhang (Dinge zählen und Bilder zeichnen) nachgedacht. Und dabei ist mir wieder dieses wichtige Zitat von Wolfram Hogrebe eingefallen. Vielleicht kann man dabei auch an die Striche denken, von denen die Philosophin Silvia Jonas im Gespräch mit Michel Friedmann gesprochen hat: Im Zeichnen, vielleicht in Zählstrichen, ersten Mustern, Tieren und dergleichen, entsteht etwas Eigenes, ein Eigengesetz, dessen sich der Zeichner oder die Zeichnerin bewusst werden kann. Es war nicht beabsichtigt, aber es zeigt sich, oft in einer Plötzlichkeit und Zwangsläufigkeit - einem zwanglosen Zwang wie Habermas es so wunderbar ausgedrückt hat.

Es sind Momente, "in denen Menschen in ihren Werken etwas hervortreten lassen, was nicht ihr Werk ist". So können im Zählen und Zeichnen ganz neue Dinge entdeckt werden, "die ohne die Taten und Werke von Menschen nicht hervorsprudeln würden", aber eine eigene unabhängige Ordnung bilden. In diesen Momenten entsteht meines Erachtens der Mensch als autonomes Wesen.

Auch wenn Zählen und Zeichnen so verschieden sind, hier haben sie meines Erachtens eine Gemeinsamkeit.

[Jörn Budesheim]

Kämen wir mit Tönen besser klar, wer weiß, ob wir einiges Mathematisches nicht eher so darstellen würden.

Nur ein kurzer Hinweis, dazu ist mir ein TED-Talk eingefallen den ich gut fand "Math is the hidden secret to understanding the world | Roger Antonsen" (schau ich mir glaube ich in der Folge dieser Diskussion hier nochmals kurz an ;) ).
Aber zu "Tönen" die Stelle ab 10:00 bis ca. 10:40 :D :

Schönes Video :)

[Timberlake]

Aber selbst wenn du darauf bestehst, passt die Realität nicht zu deinem "Argument", denn schließlich erkennen wir mathematische Tatsachen.

Wir "erkennen" sie nicht, wir an-erkennen sie (durch unser mathematisch Gelerntes, unsere entsprechenden Erfahrungen mit ihnen...)... soweit mein erster Gedanke.
Das Problem ist, dass "erkennen" verschiedene Bedeutungen bzw. -ausprägungen hat, siehe Wikipedia:
- 1. die Erkenntnis (f.), den Prozess und das Ergebnis eines durch Einsicht oder Erfahrung gewonnenen Wissens, siehe Erkenntnis
- 2. den Prozess und das Ergebnis der sinnlichen Wahrnehmung und Identifizierung, siehe Erkennung
2. entspricht dem, worauf ich mich bisher bezogen habe mit "sinnlicher Wahrnehmung", du dich dagegen auf 1., was einem deduktiven Prozess entspricht, also einem rein in unserem Kopf.

.. richtig ..

Mir ist etwas aufgefallen.
Wenn drei Rehe im Wald sind, dann sind da auch drei Rehe, wenn kein Mensch sie zählt.
Sind also Zahlen doch objektiv? Soll heissen, sie existieren unabhängig vom Menschen?

wenn drei Rehe im Wald sind , dann haben wir im Sinne von 1+1+1= 3 lediglich an-erkannt , dass da drei Rehe sind. Ein durch Einsicht oder Erfahrung gewonnenes Wissen, was in Wirklichkeit nichts mit der realen Welt zu tun hat.

Begründung ..

Begründung: Ich habe noch nie eine Kategorie über die Straße laufen sehen. Und du?

.. ich habe noch nie eine Kategorie , wie die eines Rehs gesehen.

• Wenn denn vorher schon ausgemacht ist, daß es hier keine Anschauung vom Objekte, nicht einmal etwas mit diesem Gleichartiges geben könne, wodurch wir unseren erweiterten Begriffen den ihnen angemessenen Gegenstand darstellen, und diese also ihrer realen Möglichkeit wegen sichern könnten: so wird für uns nichts weiter zu tun übrig sein, als: zuerst den Begriff, mit welchem wir uns über alle mögliche Erfahrung hinaus wagen wollen, wohl zu prüfen, ob er auch von Widersprüchen frei sei; und dann wenigstens das Verhältnis des Gegenstandes zu den Gegenständen der Erfahrung unter reine Verstandesbegriffe zu bringen, wodurch wir ihn noch gar nicht versinnlichen, aber doch etwas Übersinnliches, wenigstens tauglich zum Erfahrungsgebrauche unserer Vernunft, denken; denn ohne diese Vorsicht würden wir von einem solchen Begriffe gar keinen Gebrauch machen können, sondern schwärmen anstatt zu denken.
  Immanuel Kant .. Was heißt: sich im Denken orientieren?
  

Ein Reh ist ..- so Kant ..ein reiner Verstandesbegriff , der reale Objekte , zum Erfahrungsgebrauche unserer Vernunft und damit für die " doch etwas Übersinnliche" Mathematik , tauglich macht.

[AufDerSonne]

Es ist zum Verzweifeln! Wenn ich mich nicht um die Mathematik-Ecke kümmere, dann tut es niemand.
Ich denke, wenn drei Rehe im Wald sind, dann sind da auch drei Rehe, wenn kein Mensch sie zählt.
Ich glaube, Jörn hat gesagt, dass die realen Gegenstände auch dann existieren, wenn sie niemand wahrnimmt.

So gab es vor langer Zeit auch einige tausend Dinosaurier, obschon es noch keine Menschen gab, die sie hätten zählen können.
Aber die Anzahl Dinosaurier stand zu einem bestimmten Zeitpunkt genau fest.

Eben. "Die Zahl ist das Wesen aller Dinge." Pythagoras.

[Jörn Budesheim]

Ich glaube, Jörn hat gesagt, dass die realen Gegenstände auch dann existieren, wenn sie niemand wahrnimmt.

Nein, das habe ich nicht gesagt :) mein Spiegelbild ist natürlich real, aber es existiert nicht, wenn ich es nicht wahrnehme. Kunstwerke existieren nicht, wenn sie niemand wahrnimmt. Ich meine, du hast dasselbe von mir schon mal behauptet und ich habe darauf mit genau diesen beiden Beispielen geantwortet.

[AufDerSonne]

Ich glaube, Jörn hat gesagt, dass die realen Gegenstände auch dann existieren, wenn sie niemand wahrnimmt.

Nein, das habe ich nicht gesagt mein Spiegelbild ist natürlich real, aber es existiert nicht, wenn ich es nicht wahrnehme. Kunstwerke existieren nicht, wenn sie niemand wahrnimmt. Ich meine, du hast dasselbe von mir schon mal behauptet und ich habe darauf mit genau diesen beiden Beispielen geantwortet.

Und was sagst du zu den drei Rehen im Wald? Sind sie ohne Menschen, die sie wahrnehmen, auch da?

Und wenn du vor dem Spiegel die Augen schliesst? Dann existiert doch dein Spiegelbild weiterhin?
Und die Kunstwerke, die die Nacht hindurch immer noch an den Wänden des Kunstmuseums hängen? Sie sind in der Nacht kurzzeitig abwesend?

[Jörn Budesheim]

Die Rehe sind natürlich auch dann im Wald, wenn wir sie nicht registrieren. Und wenn es drei sind, sind es halt drei.

Zu Bildern zählen immer die Betrachter, ohne sie existieren sie nicht, Nachts hängen keine Kunstwerke im Museum, sondern bloß die bemalten Leinwände und was halt sonst noch da ist.

Bei dem Spiegelbild, würde ich mich nicht festlegen wollen, vielleicht existiert es auch, wenn ich die Augen schließe und auch sonst keiner schaut, müsste man diskutieren.

Die Idee bei diesem Beispielen war, dass es manche Dinge konstitutiv nur gibt, wenn jemand hinschaut, z.b verliebte Blicke.

Es ist sinnlos, Existenz generell davon (un)abhängig zu machen, ob wir sie registrieren oder nicht.

[AufDerSonne]

Die Idee bei diesem Beispielen war, dass es manche Dinge konstitutiv nur gibt, wenn jemand hinschaut, z.b verliebte Blicke.

Es ist sinnlos, Existenz generell davon (un)abhängig zu machen, ob wir sie registrieren oder nicht.

Wenn Hans verliebt Karin ansieht, dann ist das doch auch eine Tatsache, die wir formulieren können, unabhängig davon, wer das jetzt weiss.
Es gibt hier auch eine objektive Situation, die Verliebtheit von Hans und Karin, die unabhängig von uns existiert?

Aber bei den Bildern hast du in einer gewissen Weise recht. Ein Bild erhält eine Bedeutung erst, wenn es jemand anschaut.
Aber selbstverständlich existiert das Bild auch, wenn niemand es anschaut.

So ist es ja auch bei den Formeln auf einem Blatt Papier. Sie werden erst zum Leben erweckt, wenn ein geübter Leser, also ein Mathematiker, sie liest.

[Jörn Budesheim]

Aber bei den Bildern hast du in einer gewissen Weise recht. Ein Bild erhält eine Bedeutung erst, wenn es jemand anschaut.
Aber selbstverständlich existiert das Bild auch, wenn niemand es anschaut.

Ich halte das keineswegs für selbstverständlich, sondern für falsch, aber das ist nun wirklich ein völlig anderes Thema.