Axiome

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Jörn Budesheim
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Do 29. Jul 2021, 06:20

Koch hat geschrieben : In der Geometrie oder mathematischen Logik sind Axiome grundlegende Aussagen, die als Ausgangspunkt für die Ableitung weiterer valider geometrischer oder logischer Eigenschaften und Ausdrücke dienen.
Was sind eigentlich Axiome, was sind Beispiele dafür, und ist das bloß Geschwätz?



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Burkart
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Do 29. Jul 2021, 17:49

Axiome stellen sozusagen die logische Grundlage dar, auf denen aufgebaut wird und Ableitungen auf sie getroffen werden können.
Viele Axiome sind anschaulich völlig klar, aber die Axiome sind der formale Unterbau z.B. von Mathematik oder Logik.

Bei wikipedia findet man Beispiele für Axiome, z.B. sowas wie
„Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n+1."



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Do 29. Jul 2021, 19:48

Wörterbuch der philosophischen Begriffe hat geschrieben : Axiom, von gr. axiôma ›Forderung‹ bzw. gr. axioein ›für wert halten‹ oder ›für wahr halten‹, etwa ›das, was für wahr gehalten wird‹. Speziell in Geometrie, Logik und Mathematik bezeichnet man solche Sätze als A.e, die für die jeweilige Disziplin grundlegend sind: Sie sind selbst nicht beweisbar, sondern bilden die unhintergehbare Basis für den Beweis anderer Sätze ...
Wörterbuch, Definitionen von Oxford Languages hat geschrieben :
Axi·om /Axióm/Substantiv, Neutrum [das] WISSENSCHAFT • PHILOSOPHIE

1. als absolut richtig erkannter Grundsatz; gültige Wahrheit, die keines Beweises bedarf

2. nicht abgeleitete Aussage eines Wissenschaftsbereichs, aus der andere Aussagen deduziert werden



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Do 29. Jul 2021, 21:44

Spektrum hat geschrieben : Axiom, Aussage innerhalb einer Theorie, die mit deren Mitteln nicht beweisbar ist. Ein Axiom kann daher nur als Prämisse, aber nie als Ergebnis eines deduktiven Arguments (Deduktion) auftreten. Aus der Gesamtheit der Axiome, dem Axiomensystem, sollen alle Sätze der Theorie deduzierbar sein. Über den erkenntnistheoretischen und ontologischen Status von Axiomen physikalischer Theorien ist bis heute kein Konsens zu erkennen. Es gibt auf Aristoteles zurückgehende Auffassungen, nach denen es sich um selbstevident oder notwendig wahre Aussagen handelt, die lediglich als Prämissen für die Deduktion der Sätze der Theorie und empirisch überprüfbarer Aussagen dienen. Allenfalls können die Prämissen als implizite Definition für die in den Axiomen auftretenden Grundbegriffe angesehen werden. Andere Auffassungen betrachten Axiome beispielsweise als Formulierung idealisierter Tatsachen oder wie in der Mathematik als Aussagen ohne jede ontologische oder erkenntnistheoretische Bindung.



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Fr 30. Jul 2021, 06:30

Christoph Koch in Bewusstsein, warum es weit verbreitet ist aber nicht digitalisiert werden kann hat geschrieben : ... Die IIT setzt bei diesen fünf phänomenologischen Eigenschaften an und übernimmt sie als Axiome. In der Geometrie oder mathematischen Logik sind Axiome grundlegende Aussagen, die als Ausgangspunkt für die Ableitung weiterer valider geometrischer oder logischer Eigenschaften und Ausdrücke dienen. So wie mathematische Axiome widersprechen auch diese fünf phänomenologischen Axiome – jedes Erlebnis existiert für sich, ist strukturiert, informativ, integriert und definit – sich nicht gegenseitig (Widerspruchsfreiheit oder Konsistenz), keines kann aus einer oder mehreren der anderen abgeleitet werden (Unabhängigkeit), und alle zeigen Vollständigkeit.



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Sa 31. Jul 2021, 09:05

Hm, wünscht du hier noch irgendeine Diskussion? Dann zitiere bitte nicht nur, damit man weiß, worauf du zentral hinaus möchtest.



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Sa 31. Jul 2021, 09:33

Ich frage mich, was Axiome sind. Dazu sind Zitate oder was auch immer möglich. Nur nebenbei: Wikipedia ist nicht gerade meine Lieblingsquelle.



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Sa 31. Jul 2021, 11:15

Ok, du hast nun verschiedene Quellen schon gehabt. Hast du irgendeinen Hintergrund, inwiefern dich das interessiert, damit man in dieser Hinsicht genauer darauf eingehen kann?
Z.B. was sagt du zu meiner Axiom-Beschreibung?



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Sa 31. Jul 2021, 12:41

Burkart hat geschrieben :
Do 29. Jul 2021, 17:49
Axiome stellen sozusagen die logische Grundlage dar, auf denen aufgebaut wird ...
Koch hat geschrieben : jedes Erlebnis existiert für sich, ist strukturiert, informativ, integriert und definit
Wenn du recht hast, dann wäre es eine logische Grundlage, dass jedes Erlebnis für sich existiert.

Da ergeben sich für mich zwei Fragen:
Wieso logisch?
Und Grundlage von was?

Aber auch: was ist ein formaler Unterbau?



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Sa 31. Jul 2021, 16:17

Mir sag(t)en Kochs fünf phänomenologischen Axiome nichts, insofern kann ich mit ihnen wenig anfangen.
Aber wenn man sie als (seine) Grundlage ansieht, will er aus ihnen sicherlich etwas aufbauen, also logische Folgerungen schließen u.ä.
Die Grundlage soll also die Basis für sein Gedankenmodell sein.

Ein formaler Unterbau ist halt eine Grundlage, auf der formal-logisch aufgebaut wird.

Mir ist hier die Mathematik ein erheblich klareres, vertrauteres Gebiet.
Z.B. gibt es für die natürlichen Zahlen, die uns so vertraut sind, die sogenannten Peano-Axiome als Grundlage für alle weitere Mathematik mit (zumindest natürlichen) Zahlen. Anschaulich lauten sie (wobei Peano früher die 1 statt der 0 als Ausgangszahl genommen hatte):
1. 0 ist eine natürliche Zahl.
2. Jede natürliche Zahl n hat eine natürliche Zahl n ′ als Nachfolger.
3. 0 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.
4. Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich.
5. Enthält die Menge X die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n', so bilden die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von X.

1. legt axiomatisch fest, dass es überhaupt eine natürliche Zahl gibt, sie heiße hier 0.
2. legt axiomatisch fest, dass es Nachfolger von Zahlen und damit weitere Zahlen gibt.
3. legt fest, dass es einen Ausgangspunkt aller natürlichen Zahlen gibt.
4. legt fest, dass Zahlen wirklich eindeutig sind, also nicht dass 2+1=3 und 2+1=3' zwei verschiedene Ergebnisse (3 und 3') liefern dürfen.
5. heißt Induktionsaxiom, da auf ihm die Beweismethode der vollständigen Induktion beruht. Es ist äquivalent zur Aussage, dass jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen ein kleinstes Element hat. Mit ihm lassen sich Addition und Multiplikation auf N rekursiv definieren... aber das führt hier sicherlich zu weit, soll aber zeigen, was daraus dann werden kann.

Das ganze sind somit logische Grundlagen bzw. der formale Unterbau der Mathematik (mit natürlichen Zahlen).



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Sa 31. Jul 2021, 16:48

Was würde passieren wenn man in dem vorhergehenden Text an jeder Stelle das Wort logisch einfach streichen würde. Dann würde er für mich auf jeden Fall etwas an Verständlichkeit gewinnen. Aber so bleibt die Frage, was du damit meinst.



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Sa 31. Jul 2021, 17:14

Hm, ich habe "logisch" eigentich kaum benutzt. Aber gut, wir können es auch durch "formal konsequent" ersetzen o.ä.
Es geht halt darum, dass es objektiv anerkannte Folgerungen (bzw. Folgerungsstrukturen) sind und keine irgendwie nur subjektive, angreifbare.



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Sa 31. Jul 2021, 18:21

Wenn ich sage, dass ein Axiom der Integrierten Informationstheorie lautet, dass jedes Erlebnis in sich strukturiert ist, was wäre daran "formal konsequent"?

Wenn du diesen Text liest und kein Zombie bist, dann wird dein Erleben dabei ja in irgendeiner Form in sich strukturiert sein. Das scheint mir einfach nur eine Tatsache zu sein. Was aber sollte es heißen, dass diese Tatsache formal konsequent ist?

Die Logik kommt ins Spiel bei den weiteren (vermeintlichen oder wirklichen) Tatsachen des jeweiligen Wissens-Feldes (in diesem Fall dem Bewusstsein). Sie dürfen einander nicht widersprechen, sonst liegt ein Defekt der Theorie vor.



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So 1. Aug 2021, 09:21

Mit "formal konsequent" mein(t)e ich nur Folgerungen aus Axiomen, nicht die Axiome selbst; diese sind nur "irgendwie" festgelegt, natürlich so, dass sie ein gemeinsames "Gebäude" ergeben.
Insofern ist das strukturierte Erleben hier auch einfach nur als (axiomatische) Tatsache zu verstehen.
Und richtig, Logik kommt erst dann bei Folgerungen ins Spiel; das Ganze muss natürlich widerspruchsfrei sein, sonst wären die Axiome schlecht gewählt.



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So 1. Aug 2021, 10:10

Burkart hat geschrieben :
So 1. Aug 2021, 09:21
diese sind nur "irgendwie" festgelegt
Du meinst, der Umstand, dass das Bewusstsein existiert, wurde von jemandem "irgendwie" festgelegt?



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Alethos
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So 1. Aug 2021, 11:22

Dass auf jede natürliche Zahl eine ganzzahlige Zahl folgt, das ergibt sich wohl kaum durch Festlegung, wie überhaupt alle Axiome sich nicht durch Festlegung ergeben. Wir finden sie vielmehr vor, im Zuge wir die Wirklichkeit erforschen.



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Alle lächeln in derselben Sprache.

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So 1. Aug 2021, 16:07

Ok, dann habe ich mich vielleicht schlecht ausgedrückt.
Die Axiome für die formale Grundlagen wurden festgelegt, die dahintersteckenden Wirklichkeit(en) sind dagegen oft naheliegend bis trivial.

Allerdings ist nicht alles zwangweise formal so, wie es natürlich ist bzw. erscheint. Bei einer (sauberen) formalen Festlegung ist 100% klar, wie etwas ist/sein soll, sonst nicht unbedingt.
Z.B. betrachtet man in der Mathematik auch z.B. Modulo-Klassen (die Modulo-10-Klasse sind alle Zahlen von 0 bis 9, 9+1 ist dann = 0), dann gilt "3. 0 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl." nicht mehr.

Zu Alethos: "Dass auf jede natürliche Zahl eine ganzzahlige Zahl folgt, das ergibt sich wohl kaum durch Festlegung,"
Soweit bin ich einverstanden, insofern man einfacher immer größere ganzzahlige Zahlen benutzt.

"wie überhaupt alle Axiome sich nicht durch Festlegung ergeben."
Doch, ein Axiomensystem ist eine Festlegung.
Z.B. ist eine Festlegung, die 0 als kleinste natürliche Zahl anzusehen. In meiner Schulzeit lernte ich noch die 1, für Peano war es auch die 1, die Römer kannten nicht mal eine 0.

"Wir finden sie vielmehr vor, im Zuge wir die Wirklichkeit erforschen."
Das ist dann aber nicht das Axiomensystem, was du vorfindest, sondern naheliegenderweise passende, z.T. eher praktische Zusammenhänge, die wir gerne in Aussagen gießen.



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So 1. Aug 2021, 18:45

Burkart hat geschrieben :
So 1. Aug 2021, 16:07
Doch, ein Axiomensystem ist eine Festlegung.
Giulio Tononi hat doch nicht festgelegt, das Bewusstsein immer in sich strukturiert ist, oder?



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So 1. Aug 2021, 19:52

Jörn Budesheim hat geschrieben :
So 1. Aug 2021, 18:45
Burkart hat geschrieben :
So 1. Aug 2021, 16:07
Doch, ein Axiomensystem ist eine Festlegung.
Giulio Tononi hat doch nicht festgelegt, das Bewusstsein immer in sich strukturiert ist, oder?
Zu Tononi kann ich nichts sagen.
Wenn ich aber von oben "diese fünf phänomenologischen Axiome – jedes Erlebnis existiert für sich, ist strukturiert, informativ, integriert und definit" wörtlich nehme, sind "existiert für sich, ist strukturiert, informativ, integriert und definit" gerade die fünf Axiome, die irgendjemand so niedergelegt hat - vielleicht war es ja Tononi.



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Burkart hat geschrieben :
So 1. Aug 2021, 19:52
Zu Tononi kann ich nichts sagen
Brauchst du auch nicht. Glaubst du, dass irgendjemand (Tononi oder wer auch immer, es ist komplett unbedeutend für die Frage) festgelegt hat, dass Bewusstsein stets in sich strukturiert ist? Oder ist das einfach so?



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