Wo ist der 'Ort' der Zahlen?

[Thomas]

@ Körper: "Was ist jetzt bei "Zwei" der Gegenstand, die "Zahl" [...]?. Man kann auch fragen: was soll das Kind antworten, wenn man es fragt, was eine Zahl ist?"

Ja genau, das ist die bleibende Frage!

Der zähe Streit von Mathematikern und Philosophen um die Grundlagen der Mathematik - darunter auch derjenige um die Seinsweise der Zahlen - zeigt, dass das, was Zahlen sind, nicht einfach eine Sache des Lernens ist. Deswegen wird ja auch der Apriorismus Platons gerade in der Philosophie der Mathematik nach wie vor so stark vertreten.

Aber, Körper, wenn du irgendwo oder irgendwann auf deinem Bildungsweg gelernt hast, was Zahlen sind, dann sag uns doch einfach, was du gelernt hast. Und am besten sagst du uns nicht, was 1, 2, 3 usw. ist, sondern was ganz generell Zahlen sind. Ich bin auf die Definition, die sich aus deinem Lernvorgang ergeben hat, wirklich gespannt. (Mich persönlich interessiert dabei vor allem, ob in deiner Definition etwas über die Räumlichkeit von Zahlen enthalten ist.)

[Körper]

Demnach würden die Steckbaustein [Zahlen] Realdinge repräsentieren.

Nein, das Gleichsetzen von Beispielobjekten mit Zahlen ist falsch.

Das, was hier geschieht, ist, dass man das Kind mit dem prinzipiellen Umgang rund um Zahlen, über den Umgang mit Beispielobjekten, konfrontiert. Die Absicht ist aber, den Umgang zu präsentieren, nicht, die Zahl zu präsentieren.
Das bedeutet also nicht, dass die Beispielobjekte "Zahlen" sein sollen.

Es geht hierbei nicht um das Konfrontieren mit Objekten, denn von Objekten kommt man nicht zu "Zahlen". Man kann keine Zahl präsentieren, sondern man kann eine Zahl darstellen – aber dazu muss der Andere bereits verstanden haben, wie er reagieren muss.
Der Trick ist, dass das Kind eine Verhaltensweise erlernt und bei unterschiedlicher Anwendung einen "bleibenden Verhaltenskern" ausbildet, der von jeglichen Objektausprägungen befreit ist.
Eine Zahl kann somit nicht als Objektausprägung charakterisiert werden.

Würde man das Kind darauf einschwören, dass ein Steckbaustein eine Zahl ist, dann würde es halt den Charakter von Steckbaustein mit dem Wort "Zahl" verbinden und spätestens beim Baum nicht mehr wissen, um was es gehen soll.
Wenn sich Erwachsene fragen, was eine Zahl ist, dann können sie für das Kind keine Direktbegegnung ermöglichen - sie können es ja für sich selbst schon nicht.
Darin liegt aber durchaus ein Stück Korrektheit, denn so funktioniert es ja grundsätzlich nicht.

Das Kind wird nicht durch ein vorhandenes Objekt "Zahl" getriggert, sondern das Kind muss sich eine Reaktionsschnittmenge extrahieren und hat dann eine Reaktionsweise zur Verfügung, als läge ein "Objekt ohne konkrete Ausprägung" vor.
Das Kind wird sehr schnell die Spezialanteile in der Erfahrung (Steckbaustein, Baum) wieder vergessen, aber die Schnittmenge (durch weitere Anwendung/Training) beibehalten.

Am Ende wird sich das Kind irgendwann fragen "was ist eigentlich eine Zahl?".
Aus der Sicht des Kindes hat es die Fähigkeit zum Umgang mit "Etwas" erworben, von dem es gar nicht sagen, was es ist.
Das ist aber auch genau das, was geschehen ist.
Die Fähigkeit des Nervensystems zur Schnittmengenbildung bei Erfahrungen ist hier das Entscheidende, nicht die Begegnung mit "Etwas".
Der Witz ist, dass das Kind diesem "Etwas" nie begegnet ist und es dieses "Etwas" auch nicht gibt - es geht auch zu keiner Zeit um das "vorliegende Etwas", sondern immer nur um die Reaktion, als läge "etwas" vor.

[Körper]

Ja genau, das ist die bleibende Frage!

OK, versuchen wir es rund um das Kind-Beispiel aus einer anderen Richtung.

Würdest du mir zustimmen, dass folgende beiden Punkte unterschiedlich sind?

• Punkt 1
  man konfrontiert das Kind mit "Zahlen"-Objekten (wie auch immer das gehen soll) und es lernt den Charakter von "Zahl" kennen
• Punkt 2
  man konfrontiert das Kind mit einem bestimmten "Umgang mit Alltags-Objekten" und das Kind extrahiert eigenständig einen Verhaltenskern, bei dem es "Objekte ohne Charakter" verwaltet, als lägen solche vor.

Stimmst du mir zu, dass Punkt 1 eine aktive Begegnung darstellen würde (sozusagen ein „Positivverfahren“), während Punkt 2 eher ein indirektes Erschliessen „durch Ausschluss“ ist (sozusagen ein „Negativverfahren“)?

Mich persönlich interessiert dabei vor allem, ob in deiner Definition etwas über die Räumlichkeit von Zahlen enthalten ist.

"Zahlen" könnte man am ehesten als "von jeglicher Ausprägung befreit" einordnen.
Bei "Zahlen" geht es aber nicht um eigenständige Objekte, sondern um "Reaktion, so als läge ein Objekt ohne Ausprägung vor".

Eine Zahl ist nicht durch Eigenständigkeit festgelegt, sondern durch den Umgang. Du hast es ja selber schon angedeutet („Charakter, adddiert werden zu können“)
Bei "Zahl" geht es nicht um eine Existenz, die einen Umgang erzwingt, sondern es wird auf eine bestimmte Weise ein Umgang entworfen (durch Ableitung/Ausschluss) und dann überlegt "mit was, als Folge des Entwurfs, eigentlich noch umgegangen wird".

"Zahl" und Räumlichkeit? nein
"Zahl" und Existenz/Vorhandensein/Eigenständigkeit? nein
"Zahl" und irgendeine Ausprägung? nein
erzwingt eine "Zahl" ein Verhalten? nein
führt man ein Verhalten durch, bei dem man auf "Zahl" abzielt? ja

"Steckbaustein" und Räumlichkeit? ja
"Steckbaustein" und Existenz/Vorhandensein/Eigenständigkeit? ja
"Steckbaustein" und Ausprägung? ja
erzwingt ein "Steckbaustein" ein Verhalten? ja
führt man ein Verhalten durch, bei dem man auf "Steckbaustein" abzielt? ja

[Jörn Budesheim]

Was hast du dagegen, das (kleine) natürliche Zahlen aus An-Zahlen entstanden sind oder zumindest sein können?

Wenn Zahlen abstrakt sind, was ich denke, dann ist es logisch ausgeschlossen, dass sie aus irgendetwas entstehen, weil das eine Existenz in der Zeit voraussetzt.

[Thomas]

@Körper, zu Deinem vorletzten Beitrag: "Der Witz ist, dass das Kind diesem "Etwas" nie begegnet ist und es dieses "Etwas" auch nicht gibt".

Ich deute diesen Satz so, dass du der Meinung bist, dass es Zahlen nicht gibt.
Dein Argument zu unserem Thema ist also, dass es einen Ort der Zahlen nicht gibt, weil es gar keine Zahlen gibt. Dazu passt ja auch deine klare Bemerkung im letzten Beitrag: "Existenz/Vorhandensein/Eigenständigkeit? nein".

Zahlen existieren nicht, sagst du. Das ist doch mal ein klares Statement, vielen Dank dafür.

[Jörn Budesheim]

Kann man Zahlen durch Zählen lernen? Um drei oder vier Äpfel zu zählen, muss man die Vorstellung von einem Apfel haben, dann zählt man weiter, zwei, drei usw. Aber wie soll man in diesen Prozess einsteigen, wenn man nicht schon eine Vorstellung von der Einheit Apfel hat? Das heißt, man muss bereits vorher eine Vorstellung davon haben, was Zahlen sind, um zählen zu lernen.

[Wolfgang Endemann]

Wenn es hier heißt , dass es in dieser Menge keine 0 gibt, gibt es dann auch nicht 0 Bausteine ?

.

Das Problem, auf das Du gestoßen bist, rührt aus einer Schlampigkeit im Umgang mit mathematischen Objekten, genauer im Umgang mit der Darstellung mathematischer Objekte. Man muß Zahlen von Zahlzeichen unterscheiden. Wenn ich 1 und 1 zusammenfüge, kann das heißen, daß ich die Summe bilde (1+1=2), es kann auch heißen, daß ich die Ziffer 11 bilde, Zahlen werden benutzt, um Zahlnamen zu bilden. +1 bedeutet, den Nachfolger einer Zahl zu bilden. n+m ist also der m-te Nachfolger von n. Es gibt aber keine zusammengesetzte Zahlen, nur addierte Zahlen. Zusammengesetzte Zahlen sind Ziffern, Zahlzeichen. 73 ist der dritte Nachfolger von 70, und 70 ist die Ziffernschreibweise für die Zahl 7·N(9). Ziffern werden also zu Zahlzeichen kombiniert nach dem Bildungsgesetz (ich spare mir, das Bildungsgesetz ausführlich zu beschreiben, ich begnüge mich mit einem Beispiel): 253 = 3 + 5·10 + 2·100 = N(N(1)) + (N(N(N(N(1)))) · N(9) + N(1)·N(99), die Ausdrücke N(9) und N(99) könnte ich weiter zurückführen auf den 9. bzw 99. Nachfolger von 1 und hätte alle zusammengesetzten Zahlen auf die Basiszahl 1 und die Nachfolgeoperation zurückgeführt. Weil dies möglich ist, kann ich zur Vereinfachung die 9 Ziffern als Zahlzeichen der ersten Zahlen bis zum achten Nachfolger benutzen, und für die größeren Zahlen das oben exemplarisch durchgeführte Verfahren heranziehen. Es besteht also keine Verwechslungsgefahr, die Zahlzeichen werden durch Ziffern dargestellt. Wir identifizieren widerspruchsfrei die Zahlen mit ihrer Darstellung in Ziffernschreibweise, die eingangs erwähnte Schlampigkeit kann nachträglich legitimiert werden.

Übrigens. Ich kann mir Zahlen denken, ohne sie anders denn als physiologischen Sachverhalt zu materialisieren (diesen Ort haben sie immer, wenn sie gedacht werden), für größere Zahlen reicht das aber nicht (abgesehen von Zahlen wie π, die ein einfaches Zahlzeichen besitzen, was in diesem Fall allerdings eine unendliche Ziffernfolge in expliziter Schreibweise erfordert), größere Zahlen müssen zusätzlich in Ziffernschreibweise materialisiert dargestellt werden (es gibt Inselbegabungen, die sich solche Zahlen im Gedächtnis vorstellen und behalten können, aber auch das kommt an Grenzen). Wenn ich an eine große Zahl denke, ist also die materielle Form der Ziffernschreibweise stets mitgedacht.

Der Unterschied von Zahl und Ziffer ist kein Unterschied in der Realwelt, sondern ein gedanklicher. Dies ist der vielleicht stärkste Hinweis darauf, daß das gedachte Sein etwas anderes ist als das unmittelbare.

Und nochmal zur Null. Die Null ist im ursprünglichen mathematischen System der elementaren Arithmetik nicht enthalten, weil ein System der nichtnegativen ganzen Zahlen sehr viel komplexer ist als nur das System der natürlichen Zahlen. Daher hat es in der Geschichte der Mathematik lange gedauert, bis man überhaupt die Null als Zahl begriffen hat. Freilich hätte sich die Mathematik nicht als Zahlenlehre entwickeln können, wenn die Null ausgeschlossen geblieben wäre. Also wurde sie in die Arithmetik integriert. Aber die 0 ist keine Zahl wie alle anderen natürlichen Zahlen, sie ist eine ganz spezielle Zahl. Ich hatte schon früher darauf hingewiesen, daß man selbstverständlich eine Symmetrie der mathematischen Operationen anstrebt, aber die 0 davon ausschließen muß. Die 0 besitzt eine Eigenschaft, die keiner anderen Zahl zukommt. Für alle natürlichen Zahlen gilt: n+m=m+n>n, nicht so für 0.

[Thomas]

Für unsere Thematik ist wahrscheinlich ein Text des Neukantianers Heinrich Rickert sehr hilfreich:

https://www.gleichsatz.de/b-u-t/begin/r ... eins1.html

Das aber natürlich nur, wenn man in die Thematik tiefer einsteigen will. (Unser spezielles Thema nach dem 'Ort' der Zahlen wird von Rickert natürlich nicht angeschnitten. Ihm geht es allein um das Verhältnis von logischen und mathematischen Entitäten, also um den Unterschied zwischen Einheit und Einsheit.)

Wer Lust hat, kann ja mal reinlesen.

[Körper]

Ich deute diesen Satz so, dass du der Meinung bist, dass es Zahlen nicht gibt.
Dein Argument zu unserem Thema ist also, dass es einen Ort der Zahlen nicht gibt, weil es gar keine Zahlen gibt.

In gewisser Weise ja, aber du musst bedenken, dass ich nicht einfach sage "es gibt keine Zahlen", sondern ich versuche zu beschreiben, welche Abläufe ich dort als Hintergrund sehe und "es gibt keine Zahlen" ist dann die Konsequenz dieser Abläufe.

Zahlen existieren nicht, sagst du. Das ist doch mal ein klares Statement, vielen Dank dafür.

Gerne, wobei ich nicht nur Statement, sondern auch eine Herleitung angegeben habe.
Darf ich dein nicht sonderlich starkes Interesse an "meinen" Hintergrundabläufen dahingehend deuten, dass du von Zahlen als Existenz ausgehst?

[Thomas]

@Körper: Ja natürlich bin ich der Auffassung, dass es Zahlen gibt.

[Körper]

Ja natürlich bin ich der Auffassung, dass es Zahlen gibt.

Hast du mehr Details?

Relevant wären auch die Fragen

• Welche Existenzbasis haben Zahlen?
• Wie kommt der Mensch (insbesondere Nervensystem) mit Zahlen in Kontakt?
• Welche Zusammenhänge entnehmen wir, und auch auf welche Weise, beim Zahlen-Kontakt?
• Wieso wissen wir nicht, was Zahlen sind?

[Jörn Budesheim]

Wo ist der 'Ort' der Zahlen?

Es gibt mehrere starke Argumente, die zwar vielleicht nicht endgültig beweisen, dass Zahlen existieren, aber zusammengenommen eine hohe Plausibilität dafür schaffen. Wichtig ist, dafür einen angemessenen Begriff von "Existenz" zu haben. In meiner Sicht heißt existieren keineswegs, generell materiell zu sein. Existieren heißt – sehr vereinfacht gesagt – einen "Ort" in einem Kontext/einer Ordnung zu haben. Das ist ein formaler Begriff, kein materialer.

• Die große Mehrheit der Mathematiker ist überzeugt, dass die Objekte, mit denen sie arbeiten – wie Zahlen, Mengen oder geometrische Formen – unabhängig von uns existieren und abstrakt sind. Das ist kein Beweis, aber dennoch ein gutes Indiz. (Quelle: Jörg Neunhäuserer)
• Es gibt wahre Aussagen, die mathematische Objekte wie Zahlen beinhalten, zum Beispiel: 7+5=12. Wie könnten solche Aussagen wahr sein, wenn die Gegenstände, von denen sie handeln, gar nicht existieren?
• Diese Aussagen sind objektiv; das heißt, ihr Wahrheitsgehalt hängt nicht von den Gedanken oder Überzeugungen einzelner Personen ab. Daher können mathematische Objekte nicht in Gedanken oder Überzeugungen fundiert sein, sondern existieren unabhängig davon.
• Mathematische Objekte sind abstrakt, denn sie haben keine physischen Eigenschaften wie Größe, Dauer oder Gewicht etc. Ihre Eigenschaften sind ausschließlich durch den mathematischen Raum bestimmt, zu dem sie gehören und den sie gemeinsam konstituieren.
• Da Zahlen abstrakt sind, haben sie keinen raumzeitlichen Ort. Ihr "Ort" bestimmt sich durch den Bereich, zu dem sie gehören. Der Ort der 7 als ganzer Zahl liegt zum Beispiel zwischen der 6 und der 8. Diese abstrakten Orte, Relationen und Muster werden von der Mathematik erforscht.
• In den Naturwissenschaften, insbesondere in der Physik, spielen mathematische Konzepte eine zentrale Rolle. Ihre Unverzichtbarkeit für das Verständnis der physikalischen Welt deutet darauf hin, dass wir sie als real ansehen sollten.

[Wolfgang Endemann]

Ich verstehe nicht, was an dem einfachen Gedanken unverständlich sein kann, daß die einzige Art, wie Zahlen existieren können, lautet: als Inhalt von Gedanken. Und, daß Zahlen, ohne daß sie gedacht werden, wenn man also das Gedachtwerden abzieht, nichts sind. Alles andere Denken über Zahlen ist nach meinem Verständnis magisches Denken.
Wer dem widerspricht, möge doch bitte sagen, welcher Teil meiner Aussage falsch ist.

Davon abgesehen habe ich schon angeboten, eine Aufteilung von Sein und Nichts durch den Unterschied von Wirklichkeits- und Möglichkeitsraum etwas zu differenzieren, so daß man dem Nichtsein nicht nur das Sein, sondern auch das mögliche Sein gegenüberstellt. Dann hat man eine zusätzliche Kategorie des potentiellen Seins, die sich sowohl auf die materielle Realität wie auch auf die Realität der Gedankenwelten anwenden läßt. Die Realwelt ist nicht absolut determiniert, also gibt es einen Möglichkeitsraum des Seins, der den Wirklichkeitsraum einschließt, echt umfaßt, also über den Wirklichkeitsraum hinausgeht. Genau so gibt es den Möglichkeitsraum des Denkens, der das reale Denken echt umfaßt. Im Unterschied zur Realität ist allerdings das Denken potentiell unbeschränkt, man kann den größten Blödsinn denken. Daher muß man an das Denken das Kriterium der Konsistenz anlegen. Man kann ja Dinge in die Realität hineindenken, die absurd sind. Durch sie wird die Realität nicht umfangreicher gedacht. Nur weil wir etwas inkonsistentes denken, gehen wir nicht von der realen Welt zur potentiellen über, der Blödsinn ist auch potentiell nicht möglich. Genau so führt nur konsistentes Denken vom realen Denkraum in den potentiellen. Wenn ich so denke, ergänze ich den Denkraum zum potentiellen Denkraum, in dem alle möglichen Wahrheiten gedacht werden. In diesem Sinne könnte ich von der Realität von Zahlen unabhängig von unserem Wissen von den Zahlen reden. Im virtuellen Raum des Denkmöglichen gibt es all die richtigen Gedanken, die noch nicht gedacht wurden, aber irgendwann einmal ge-/erfunden werden können. Das gleiche kann ich jedoch auch vom materiellen Realraum sagen. Was im Möglichkeitsraum existiert, kann Wirklichkeit werden und existiert somit unabhängig davon, daß es realisiert ist. Das aber ist ein gedanklicher Trick, in dem virtuelles Sein mit Sein gleichgesetzt wird. Oder es ist die Einsicht in eine andere Form der Existenz, die virtuelle Existenz. Das Mögliche, weil es möglich ist, für wirklich zu halten, ist jedoch ein Kategorienfehler.

[Jörn Budesheim]

Ich verstehe nicht, was an dem einfachen Gedanken unverständlich sein kann, daß die einzige Art, wie Zahlen existieren können, lautet: als Inhalt von Gedanken.

Den Satz verstehe ich, ich halte ihn aber für falsch. Diese Möglichkeit solltest du vielleicht in Betracht ziehen.

Ein Wort zu den Möglichkeiten: Ich bin zwar auch der Ansicht, dass es Möglichkeiten wirklich gibt, aber das war schon so, als es uns noch nicht gab, es hängt nicht von unserer Existenz ab. Aber das ist ein anderes Thema.

[Burkart]

Was hast du dagegen, das (kleine) natürliche Zahlen aus An-Zahlen entstanden sind oder zumindest sein können?

Wenn Zahlen abstrakt sind, was ich denke, dann ist es logisch ausgeschlossen, dass sie aus irgendetwas entstehen, weil das eine Existenz in der Zeit voraussetzt.

Mir scheint, dass das "entstehen" missverständlich bzw. das Problem ist.
Natürlich entstehen sie nicht als solche in der (Raum-)Zeit. Vielmehr entstehen sie wie alles Abstrakte durch unserer Denken, das Basis für den Raum alles Abstrakten ist.

[Burkart]

Kann man Zahlen durch Zählen lernen? Um drei oder vier Äpfel zu zählen, muss man die Vorstellung von einem Apfel haben, dann zählt man weiter, zwei, drei usw. Aber wie soll man in diesen Prozess einsteigen, wenn man nicht schon eine Vorstellung von der Einheit Apfel hat? Das heißt, man muss bereits vorher eine Vorstellung davon haben, was Zahlen sind, um zählen zu lernen.

Die Idee einer Einheit (hier Apfel) kommt vor der Vorstellung, was Zahlen sind. Man sieht z.B. etwas, das irgendwie immer zusammenhängt, ein Objekt, einen "Komplex" bildet... woraus schließlich die/eine Einheit wird.
Somit hat man auch kein Problem mit dem Zählen von Äpfeln. Die Bedeutung deren unterschiedlicher An-Zahlen lernt man dann aus Erfahrung und somit abstrahiert (von "Apfel") dann auch die Zahlen selbst.

[Jörn Budesheim]

Mir scheint, dass das "entstehen" missverständlich bzw. das Problem ist.
Natürlich entstehen sie nicht als solche in der (Raum-)Zeit. Vielmehr entstehen sie wie alles Abstrakte durch unserer Denken, das Basis für den Raum alles Abstrakten ist.

Das ist nicht missverständlich. Denn unser Denken ist ja wohl irgendwann entstanden - und mit ihm, deiner Ansicht nach, die Zahlen. Das würde bedeuten, dass die Zahlen selbst auch entstanden sind. Das ist aber nicht möglich für etwas, was nicht in der Zeit existiert.

[Jörn Budesheim]

Die Idee einer Einheit (hier Apfel) kommt vor der Vorstellung, was Zahlen sind.

Und wenn das so ist, kann man Zahlen nicht aus Abstraktion gewinnen.

[Thomas]

@Wolfgang: "Ich verstehe nicht, was an dem einfachen Gedanken unverständlich sein kann, daß die einzige Art, wie Zahlen existieren können, lautet: als Inhalt von Gedanken".

Dem kann ich mich durchaus anschliessen, Wolfgang: Zahlen sind Inhalte, Objekte oder Gegenstände mathematischen Denkens. Nur würde ich eine kleine Nuance hinzufügen: Das mathematische Denken bringt seine Gegenstände, etwa die Zahlen, nicht hervor, sondern es bezieht sich auf sie. Der mathematische Gedanke 2+2=4 z.B. drückt einen mathematischen Sachverhalt aus. Es verhält sich so, wie der Gedanke es denkt.

Sofern deine Aussage also nicht impliziert, dass mathematische Objekte vom Denken hervorgebracht werden, kann ich dir voll und ganz zustimmen. Aber das sollte sich ja sowieso von selbst verstehen: denn das Denken kann ja nicht hervorbringen, dass zwei plus zwei vier ist. Das ist einfach so, ob man es denkt oder nicht.

[Körper]

Ich verstehe nicht, was an dem einfachen Gedanken unverständlich sein kann, daß die einzige Art, wie Zahlen existieren können, lautet: als Inhalt von Gedanken. Und, daß Zahlen, ohne daß sie gedacht werden, wenn man also das Gedachtwerden abzieht, nichts sind. Alles andere Denken über Zahlen ist nach meinem Verständnis magisches Denken.
Wer dem widerspricht, möge doch bitte sagen, welcher Teil meiner Aussage falsch ist.

Was genau bedeutet es "als Inhalt von Gedanken zu existieren"?
Ist das etwas anderes als "der Mensch führt einen Denkvorgang durch, bei dem er so tut, als gäbe es da eine Existenz"?
Falls nicht, dann würde ich diese Darstellung eher bevorzugen, denn das andere ist poetisch aus der Sicht dessen formuliert, das gar nicht existiert – so etwas verwirrt sehr stark, wenn es letztlich darum geht, ob Zahlen (in der Welt) existieren oder nicht.