Mathematik-Ecke

[Jörn Budesheim]

verstanden

Man sieht ja dem Beitrag sofort an, auch ohne ihn zu lesen, dass Wolfgang gar nicht versucht hat, es in verständliche Worte zu packen, da habe ich mir das Lesen erspart :) und da er zudem gleich mit einer Beleidigung begonnen hat, habe ich mir keine weitere Mühe gegeben.

[Burkart]

verstanden

Man sieht ja dem Beitrag sofort an, auch ohne ihn zu lesen, dass Wolfgang gar nicht versucht hat, es in verständliche Worte zu packen, da habe ich mir das Lesen erspart und da er zudem gleich mit einer Beleidigung begonnen hat, habe ich mir keine weitere Mühe gegeben.

Ich denke, er hat sich schon bemüht, nur den Mathe-Elfenbeinturm dabei nicht recht verlassen

[Wolfgang Endemann]

Bekannt ist natürlich die Formel n*(n+1)/2, die relativ leicht zu veranschaulichen ist, wenn man (1+100) + (2+99) usw. rechnet.

Verstehe ich die Lösung richtig: n+m wird zerlegt in n*+m* mit n*=m* oder n*+1/-1=m*, dann ist die Lösung 2n*+/-1? Das ist eine elegante Lösung, aber keineswegs einfacher als meine des modifizierten schriftlichen Addierens.
Was die Unverständlichkeit meiner Lösung betrifft, die verstehe ich nicht. Kann es sein, daß nicht verstanden wird, ob man von Zahlen oder Ziffern spricht?

[Stefanie]

Wie addiert man die Zahlen von 1 bis 100 mit vergleichsweise geringen Aufwand? Wer kennt den Trick?

Den Trick kenne ich aus der Romanverfilmung "Die Vermessung der Welt", da bekommt der kleine Gauss, weil er das so schnell ausrechnete und womöglich schummelte, vom Lehrer eine Ohrfeige.

Ich kenne es nicht aus dem Film, aber das Buch war der Grund, warum ich zu Gauß einiges las, u.a. den Trick.

[Jörn Budesheim]

Mir wurde es zweimal kurz hintereinander bei YouTube angeboten. Einmal mit den Zahlen bis zehn, ein anderes Mal mit den Zahlen bis 100. Angeschaut habe ich es mir, weil wir ja hier diese "mathematische Ecke" haben. Die Gaußsche Methode ist einfach. Sie funktioniert, nachdem was ich gesehen habe, so:

Man addiert die erste Zahl, 1, mit der letzten Zahl, 100, das ergibt 101. Dann addiert man die 2 mit der vorletzten Zahl, 99 – wieder 101. So geht es weiter: Jedes dieser Paare ergibt 101. Da es 100 Zahlen gibt, entstehen 50 Paare. Das Endergebnis erhält man also, indem man 101 mal 50 rechnet, was 5050 ergibt.

Kurz: Indem man die Zahlen paarweise addiert (1 + 100, 2 + 99, usw.), kommt man immer auf 101. Da es 50 solcher Paare gibt, multipliziert man 101 mit 50 und erhält so das Endergebnis von 5050.

[Stefanie]

Mittlerweile habe ich es auch nachgelesen.

Es wurde nach einem Trick gefragt, der einfach, elegant, also auch pfiffig ist. Scheinbar zu schwer für einige. Außer für Herrn Gauß.

[Burkart]

Bekannt ist natürlich die Formel n*(n+1)/2, die relativ leicht zu veranschaulichen ist, wenn man (1+100) + (2+99) usw. rechnet.

Verstehe ich die Lösung richtig: n+m wird zerlegt in n*+m* mit n*=m* oder n*+1/-1=m*, dann ist die Lösung 2n*+/-1? Das ist eine elegante Lösung, aber keineswegs einfacher als meine des modifizierten schriftlichen Addierens.
Was die Unverständlichkeit meiner Lösung betrifft, die verstehe ich nicht. Kann es sein, daß nicht verstanden wird, ob man von Zahlen oder Ziffern spricht?

Deine Zifferrn-Notation(?) ist zumindest für mich sehr ungewöhnlich. Deshalb habe ich ja Jörn und Stefanie gefragt, ob sie deine Lösung verstehen.

Was die von mir genannte Formel und Veranschaulichung betrifft, hat Jörn sie gerade ausführlich wiederholt.

[Burkart]

Mittlerweile habe ich es auch nachgelesen.

Es wurde nach einem Trick gefragt, der einfach, elegant, also auch pfiffig ist. Scheinbar zu schwer für einige. Außer für Herrn Gauß.

Na ja, es ging da ja um Schüler vor vielen Jahren, auch sein Lehrer war offensichtlich nicht plietsch genug für die Rechnung. "Trick" passt insofern gut zu ihnen, für (heutige) Mathematiker natürlich nur noch Routine. (Ansonsten besteht viel Mathematik aus "Tricks", alleine Phytagoras' a^2 + b^2 = c^2 könnte man schon als solchen Verstehen bei der Seitenberechnung.)

[Jörn Budesheim]

Mittlerweile habe ich es auch nachgelesen.

Es wurde nach einem Trick gefragt, der einfach, elegant, also auch pfiffig ist. Scheinbar zu schwer für einige. Außer für Herrn Gauß. :(

Wenn mich nicht alles täuscht, kenne ich dieselbe Geschichte noch aus der Schule mit Adam Riese statt Gauß, da wurde es von der Geschichte begleitet, dass der Lehrer den Schülern diese Aufgabe gegeben hat, um einen Moment der Ruhe für sich selbst zu gewinnen und dann kam Adam Riese nach wenigen Momenten und hatte die Lösung :)

[Burkart]

Hatten wir eigentlich den 'Trick' schon, wie man leicht etwas wie 103*97 berechnet?

[Jörn Budesheim]

Nein, das kannte ich noch nicht. Aber hätte man uns das in der Schule gezeigt, hätte ich vielleicht Freundschaft mit dem binomischen Formeln geschlossen :)

[Wolfgang Endemann]

[

Was die von mir genannte Formel und Veranschaulichung betrifft, hat Jörn sie gerade ausführlich wiederholt.

Vielleicht befinde ich mich wirklich im Elfenbeinturm. Ich bin davon ausgegangen, daß man zwei Zahlen zwischen 1 und 100 addiert, hier war gemeint, man soll alle Zahlen zwischen 1 und 100 addieren. Das ging für mich nicht aus der Formulierung der Aufgabe hervor, zumal es nicht um eine Summe, sondern eine "verallgemeinerte Summe" geht

Unter meiner Voraussetzung habe ich die bessere Lösung angegeben, denn meine Lösung ist einfach, weil sie die Addition mit Zehnerzahlen auf die Addition mit Einerzahlen, also das kleine Eins plus Eins, zurückführt:
57 + 84 = 137 + 4 = 130+(7+4) = 140+1 = 141.
Wenn das nicht einfacher ist als:
57+84=56+85= ... =67+74=68+73=69+72=70+71=2·70+1=141.

Für die hier geforderte Lösung braucht man tatsächlich beide Lösungen, meine für die Einzelsumme, die Gaußsche für die verallgemeinerte Summe. Und dabei ist es nicht notwendig, von 1 zu beginnen. Die Gaußsche Formel läßt sich für Zahlen zwischen n und m formulieren.
Wenn man für die verallgemeinerte Summe von Summanden aᵢ mit i von n bis m die Schreibweise (n,m)Σaᵢ verwendet, gilt:
(n,m)Σi = (n+m)+((n+1)+(m-1))+ ... +(n*+n*) oder, wenn das im Vorkommentar definierte n*=½(n+m) ist, oder (n,m)Σi ß (n+m)+ ... +(2n*+1), wenn von beiden Zahlen eine gerade, eine ungerade ist.

Selbstverständlich kann man die allgemeine Formel aus der speziellen, die mit 1 beginnt herleiten:
(n,m)Σi = (1,m)Σi - (1,n)Σi.

[Wolfgang Endemann]

Hatten wir eigentlich den 'Trick' schon, wie man leicht etwas wie 103*97 berechnet?

Auch hier die Vereinfachung durch Reduktion auf das Kleine EinxEins

103·97 = (100+3)·(100+3) = 100·100 + 300 - 300 -9 = 9991,
In diesem Falle würde man aber die Formel (a+b)·(a-b) = a² - b² benutzen.

[Burkart]

Nein, das kannte ich noch nicht. Aber hätte man uns das in der Schule gezeigt, hätte ich vielleicht Freundschaft mit dem binomischen Formeln geschlossen

Genau. Mir war deren Anwendung für so ein Beispiel irgendwann man ein- oder aufgefallen (oder hatte es gelesen? Das weiß ich nicht mehr genau).
Aber praktisch gesehen interessiert es auch kaum, ob man nun bei 103*97 genau 9991 Euro oder was auch immer hat oder eben "rund 10000" und so die restliche Berechnung einfach weglässt (9 Euro mehr oder weniger macht einer nicht relevant reicher oder ärmer).

[Burkart]

Hatten wir eigentlich den 'Trick' schon, wie man leicht etwas wie 103*97 berechnet?

Auch hier die Vereinfachung durch Reduktion auf das Kleine EinxEins

103·97 = (100+3)·(100+3) = 100·100 + 300 - 300 -9 = 9991,
In diesem Falle würde man aber die Formel (a+b)·(a-b) = a² - b² benutzen.

So ist es, praktisch-mathematisch gesehen
...auch (a+b)·(a-b) = a² - b².

[Jörn Budesheim]

[Burkart]

Die drei erinnern mich sehr an ein altes Rätsel, z.B. hier geschrieben: Die drei Gefangene

[Jörn Budesheim]

Zahlentheorie
:
Es gibt eine neue größte Primzahl

Das gemeinschaftliche Projekt GIMPS hat die größte bisher bekannte Primzahl hervorgebracht. Die aus mehr als 41 Millionen Stellen bestehende Zahl läutet eine neue Ära ein.

https://www.spektrum.de/news/primzahlen ... 52/2238897

[Jörn Budesheim]

Heute saßen in der Straßenbahn neben mir ein paar Studentinnen und eine sagte nebenbei, "ich hatte heute noch einen Kurs in 'Mathematischem Motivieren'".

Da habe ich gleich mal mein Handy gezückt und recherchiert:

Wie Sie Ihre Schülerinnen und Schüler für das Fach Mathematik motivieren

Im Fach Mathematik wird gerechnet, geforscht und Probleme werden gelöst. Doch trotzdem zählen es viele Schülerinnen und Schüler nicht zu ihren Lieblingsfächern. Sie stellen sich häufig die Frage: „Für was brauche ich das alles?“.

Als Lehrerinnen und Lehrer zu sagen, weil du später einen Schulabschluss machen musst oder es abiturrelevant sei, klingt vor allem für Schülerinnen und Schüler in der fünften Klasse alles andere als motivierend und ist auch nicht Sinn des Unterrichts.

Die Schülerinnen und Schüler müssen ein grundlegendes Verständnis für den Sinn von Mathematik erhalten.

Mathematik muss Spaß machen und dementsprechend auch vermittelt werden...

[...]

Beispiel für eine Modellierungsaufgabe:
Ein Bäcker verkauft jeden Tag 100 kg Brot. Dabei verdient er täglich 160 €. Er plant, einen neuen Backofen zu kaufen, der 8000 € kostet. Damit könnte er jeden Monat 300 kg mehr Brot backen. Wie lange braucht er, um den Backofen abzubezahlen?

https://www.betzold.de/blog/motivation-mathematik/

Das klingt jetzt nicht wirklich anders als das, was ich aus der Schule kenne und was mich immer ziemlich abgeturnt hat :)

[Quk]

Spaßeshalber ...

Angenommen, er hat jeden Tag geöffnet, und ein Monat hat 30 Tage.

160 € / 100 kg = 1,60 € / 1 kg
300 kg / 30 Tage = 10 kg / Tag

Mit dem neuen Ofen wird er also 110 kg täglich verkaufen.

1,60 € * 110 = 176 €

8000 € / 176 € = 45,4545

Also nach 46 Tagen hat er 8000 € verdient.

Jetzt ist natürlich die Frage, wie viel davon gibt er für die Betriebskosten und so weiter aus. Mit dieser Informationslücke ist die Aufgabe unlösbar. Und das finde ich immer das frustriendste an solchen Aufgaben: Man muss die Fantasievorstellungen des Aufgabenstellers per Telepathie erfassen. Das ist meist nicht möglich, weil man nicht weiß, wo er oder sie wohnt; manchmal sind diese Leute sogar schon tot.