Mathematik-Ecke

[Jörn Budesheim]

Und was, wenn er mit der Zahl der verkauften Brote schon sein Limit erreicht hat, weil es gar nicht mehr Kunden für ihn gibt :)

[Quk]

Ja, genau. Fragen über Fragen ...

[Wolfgang Endemann]

Da fragt man sich, was in Mathematikdidaktik gelehrt und gelernt wird. Vielleicht drückt sich darin auch aus, daß manche Mathematiker Pedanten, Pfennigfuchser, soziale Analphabeten sind. Selbst nicht an die Attraktivität mathematischer Schönheit glauben, meinen, man muß mit der Nützlichkeit werben, weil alle materialistisch sind.

Ich möchte ein kleines Beispiel geben, das am Rechnen ansetzt, aber ins strukturelle Denken hinausweist. Es gibt ein Lebensmittelautomaten, der nur 1€-, 2€- und 5€- Münzen annimmt und kein Rückgeld ausgibt. Die angebotenen Waren haben Preise zwischen einem und zehn €. Wieviele Münzen brauche ich mindestens, um ein beliebiges Produkt ohne Verlust kaufen zu können, und welche sind es?
Wesentlich für diese Aufgabe ist nicht nur, sie zu lösen, sondern die Lösung zu begründen. Wenn ich eine 5€-Münze habe, reduziert sich die Aufgabe darauf, 1-5€ zahlen zu können, mit 2 2€-Münzenkann ich die zwei geraden Zahlen erreichen, mit einem zusätzlichen 1€ kann ich alle Zahlen erreichen. Ohne einen Euro wären (außer 5) keine ungeraden Zahlen erreichbar, ohne 2€-Münzen bräuchte ich die jeweils doppelte Münzenzahl an 1E-Münzen.
Vielleicht bin ich ja auch betriebsblind, aber mir kommt diese Aufgabe viel leichter und viel intelligenter vor, sie könnte ein bißchen Spaß machen.

Das vorgelegte Aufgabenbeispiel wurde schon von Quk und Jörn als Milchmädchenrechnung entlarvt. Alle betriebswirtschaftlichen Parameter wurden ausgelassen bis auf die lineare Steigerung von Produktausstoß und Verkaufserlös, die selbst problematisch ist. Mit der verkürzten Perspektive wird der zukünftige Kapitalist Pleite machen, wie gut auch immer er Rechnen gelernt hat.

[Burkart]

5€- Münzen

Hast du welche? Ich irgendwie nicht
Oder ist das gerade der Trick?

[Quk]

Die angebotenen Waren haben Preise zwischen einem und zehn €. Wieviele Münzen brauche ich mindestens, um ein beliebiges Produkt ohne Verlust kaufen zu können, und welche sind es?

Nach meinem Belieben nehme ich das 1-Euro-Produkt und zahle mit einer 1-Euro-Münze :-)

Das meintest Du natürlich nicht. Deswegen würde ich die Beliebigkeit einer anderen Person zuschreiben und alles ein bisschen genauer formulieren. Vielleicht so:

Es gibt zehn Artikel; der erste kostet 1 €, der zweite 2 € und so weiter. Ein Kind darf einen der Artikel auswählen und ich werde ihn bezahlen, und zwar exakt. Das Kind hat noch nicht gewählt, aber ich muss für die Zahlung bereit sein. Welche und wie viele Münzen brauche ich jetzt mindestens, um für jedwede, einmalige Artikel-Wahl passend zahlen zu können?

Mein Gedankengang wäre visuell:

1 = 1
2 = 2
3 = 2 + 1
4 = 2 + 2
5 = 5
6 = 5 + 1
7 = 5 + 2
8 = 5 + 2 + 1
9 = 5 + 2 + 2
10 = 5 + 2 + 2 + 1

Ich sehe: Die 2-Euro-Münze kann zwei Mal vorkommen, die anderen nur ein Mal. Also brauche ich eine 1er, eine 5er, und zwei 2er. Außerdem ist deren Summe 10 Euro, womit bewiesen wäre, dass ich damit auch den teuersten der zehn Artikel bezahlen könnte. Kann man das einen Beweis nennen? Ich weiß es nicht. Frage an den Experten.

[Wolfgang Endemann]

@ Burkart
Man muß mir mein Alter zugute halten. Für mich zieht sich schon die Vergangenheit so zusammen, daß mir Zurückliegendes wie Heutiges vorkommt. Wir hatten doch mal 5er-Münzen. Vielleicht nur in D-Mark, nicht in €? Mir war nicht präsent, daß es die schon lange nicht mehr gibt. Also bitte keine Raffinesse hineinlegen, was nur meinem Alzheimer geschuldet ist. Vielleicht ist es aber auch harmloser. Ich denke abstrakt, wenn ich an Mathematik denke; ich habe wohl eher an 1-, 2- und 5-Centstücke gedacht.

@ Quk
So kann man die Aufgabe formulieren, aber meine war durchaus exakt, ich denke ein bißchen abstrakter. Was die explizite Lösung betrifft, sie ist natürlich richtig. Aber mir wäre mehr daran gelegen, von den Schülern eine allgemeine Begründung dafür zu hören. Interessant ist ja auch, daß man die Aufgabe erweitern kann um den Faktor 10. Dann nehme ich die 10€-, 20€- und 50€-Scheine dazu, lasse den Automaten auch Scheine annehmen, und erhöhe sein Angebot auf 1€- bis 100€-Artikel. Dann brauche ich nochmal die gleiche Menge an Scheinen wie an Münzen.
Die kompliziertere Aufgabe kann ich auf die einfache zurückführen. Das ist strukturelles Denken.

Jetzt habe ich doch den gleichen Fehler wiederholt: es gibt keine 1€- oder 2€-Scheine. Aber ich bin Idealist, wenn's logisch ist, ist es auch richtig.

[Wolfgang Endemann]

Um die letzte Bemerkung zu ergänzen. Logisch wäre, es gäbe kleine Münzen (1c, 2c, 5c), große Münzen (10c, 20c, 50c), kleine Scheine (1€, 2€, 5€) und große Scheine (10€, 20€, 50€). Dann ließe sich die Aufgabe "mit wieviel Scheinen und Münzen kann ich einen Warenkauf von 1c bis 100€ exakt begleichen?" exakt und einfach lösen. Diese Aufgabe ist auf die ursprüngliche dreifach reduktiv zu lösen, wenn man richtig denkt, hat man sofort die richtige Lösung: von jeder Geldsorte 4 Exemplare, also insgesamt 16 Zahlungsmittel.

[Stefanie]

Vielleicht ist das hier mehr praxisnah.

Forscher berechnet die perfekte Form eines Bierglases
Ein Bier muss man kühl genießen. Damit das gelingt, hat ein Ingenieur nun die optimale Glasform ausgerechnet – und sie unterscheidet sich von den meisten gängigen Varianten.

https://www.spektrum.de/kolumne/welche- ... hl/2239568

[Jörn Budesheim]

Ein Affe mit unendlich viel Zeit und einer Schreibmaschine könnte – so heißt es manchmal – zufällig ein Shakespeare-Stück tippen. Kürzt man jedoch die eingeräumte Zeitspanne „etwas“ bis zum Ende des Universums, stellt sich die Sache anders dar, was wenig überrascht:

"Bei den (verhältnismäßig einfachen) Berechnungen der beiden Mathematiker stellte sich heraus, dass Affen bei einzelnen Wörtern durchaus realistische Erfolgsaussichten haben. Ein einzelner Affe hat eine fünfprozentige Chance, in seiner Lebensspanne einmal das Wort "bananas" zu tippen."

https://www.derstandard.de/story/300000 ... -schreiben

[Burkart]

Ab dem 1.12. kann man wieder nette Aufgaben im Mathe-Adventskalender lösen, vielleicht seid ihr ja auch daran interessiert.

[Jörn Budesheim]

[Burkart]

Ab dem 1.12. kann man wieder nette Aufgaben im Mathe-Adventskalender lösen, vielleicht seid ihr ja auch daran interessiert.

Heute gehen sie los, viel Spaß ggf.!

[Burkart]

Schon interessant, was für Fragen bei Einigen auftauchen
Ob die Zuhörer Schüler oder Studenten waren, wäre vielleicht noch interessant.

[Wolfgang Endemann]

Ich sehe große Mängel in den Erklärungen des Pädagogen, und diese Art des Erklärens trägt zu einem Mißverständnis der Mathematik bei, welches auch in diesem Forum sich öfters zeigt. Hier werden mathematische Objekte und Operationen wie empirische Gegenstände behandelt. Man weiß, was gerade Zahlen sind, man weiß, was teilen ist, man weiß, wie die Null geteilt wird. Und mit diesem "Wissen" soll jetzt festgestellt werden, ob 0 eine gerade Zahl ist.
Ein richtiges Argument war die Aussage des Pädagogen, daß "gerade Zahl" als durch 2 teilbar definiert ist. Aber wie ist teilen definiert? Auch 1 ist durch 2 teilbar, 1:2 ist ½ oder 0,5, einen Kuchen kann ich auch durch 2 teilen. So ist das offensichtlich nicht gemeint, der Pädagoge redet dann ja auch von Teilbarkeit ohne Rest. Hier muß man auf die Definition von Zahlen, im gegebenen Fall den natürlichen Zahlen zurückgehen, die durch die Grundzahl 1 und den Nachfolgeoperator definiert sind. In dieser Zahlenmenge gibt es keine 0. Für diese Zahlenmenge kann ich das Addieren, dann das Subtrahieren, das Multiplizieren, und schließlich das Dividieren definieren. Und dann stellt man fest, daß dieses Rechnen nur mit natürlichen Zahlen unbefriedigend ist. Wenn man etwas hat, abstrakt also etwa die 1, dann kann man das doch auch verlieren, man müßte also 1 abziehen können von 1, so wie wir die 1, manchmal auch öfters die 1 von größeren natürlichen Zahlen abziehen können. Dafür brauchen wir die nichtnatürliche, unnatürliche Zahl 0 (die Erfindung der Null war historisch gar nicht so einfach, was ist eine Anzahl, die keine Anzahl ist?) Aber wir können nicht nur verlieren, was wir haben, wir können auch Schulden machen, die wir irgendwann begleichen. So kommen wir zu den ganzen Zahlen, also den natürlichen, den natürlichen mit negativem Vorzeichen und der neutralen, weder positiven noch negativen Zahl 0. Im Unterschied zu der Menge der natürlichen Zahlen, die asymmetrisch ist, da 1 die Ursprungszahl ist, alle anderen Nachfolgezahlen sind, ist die Menge der ganzen Zahlen symmetrisch, jede Nachfolgezahl ist auch eine Vorgängerzahl. Dann kann allgemein die Teilung mit und ohne Rest durchgeführt werden, mit Ausnahme der 0, denn die ist auch in der Menge der ganzen Zahlen eine ausgezeichnete. Hier kann der Dialog mit den Schülern nicht weitergeführt werden, weil das eine Überforderung wäre. Hier wäre die Notwendigkeit zu erklären, daß man nicht durch 0 teilen darf, weil es kein Inverses zu 0 gibt. Aber man kann jetzt die Menge aller ganzen Zahlen aufteilen in die Menge derjenigen, die ich durch 2 teilen kann, und derjenigen, die ich nicht durch 2 teilen kann. Dies ist eine vollständige Aufteilung (daher sprach der Pädagoge von den durch 2 teilbaren und dem Rest), jede Zahl ist durch 2 teilbar oder nicht. Die präzise Definition der geraden Zahl lautet: x ist eine gerade Zahl, wenn es eine Zahl z gibt, so daß x=2·z. 2·0=0, also ist 0 eine gerade Zahl. Weil wir es so definiert haben, die 0 und die Teilbarkeit, speziell die durch 2.

[Quk]

Im Roulette gewinnt bei Null weder "gerade" noch "ungerade". Das ist der Beweis! Die Frage ergibt keinen Sinn. Ist das Nichts senkrecht oder waagerecht?

[Stefanie]

Was ist 0 denn nun?
Ein kurzer Überblick ergab, dass die große Mehrheit sagt 0 ist eine gerade Zahl.

[Jörn Budesheim]

"Christian Spannagel (* 10. November 1976 in Rüsselsheim am Main) ist ein deutscher Informatiker und Professor für Mathematik und Mathematikdidaktik..." Ich fand die Erläuterungen in dem Video gut nachvollziehbar.

[Burkart]

Was ist 0 denn nun?
Ein kurzer Überblick ergab, dass die große Mehrheit sagt 0 ist eine gerade Zahl.

Sie ist einfach gerade; 0/2 ergibt keinen Rest.

[Wolfgang Endemann]

Was ist 0 denn nun?
Ein kurzer Überblick ergab, dass die große Mehrheit sagt 0 ist eine gerade Zahl.

Das ist keine Frage der Mehrheit, sondern eine der Definition. Die 0 wird als neutrales Element (rechtsneutral und linksneutral) der Addition definiert, dh x+0=0+x=x. Teilen wird als inverse Operation des Multiplizierens definiert, die also ein Produkt wieder in seine konstituierenden Teile aufspaltet: x teilt z genau dann, wenn es ein y gibt, so daß x·y = z. 2 teilt z genau dann, wenn es ein y gibt mit 2y=z. (x·y):y = x, und für durch x teilbare Zahlen z gilt (z:x)·x = z. Diese Einschränkung der Operation Teilen führt zur Erweiterung der Zahlenmenge auf die rationalen Zahlen.

[Stefanie]

Mir reicht die Antwort von Burkart. So habe ich es vor Jahrzehnten auch gelernt.