Platonismus versus Fiktionalismus

[Consul]

Entscheidend ist die Essenz von Zahlen: Wenn sie abstrakte, übersinnlich-überräumlich-überzeitliche Objekte im Sinn des mathematischen Platonismus sind, dann ist der Glaube an die Existenz von Zahlen eben nicht naturalistisch (im Sinn des metaphysischen/ontologischen Naturalismus).

Aber auch hier "misst" du es am Naturalismus. Aber das kaufe ich eben nicht. Ebenso wenig kaufe ich natürlich Formen von absolutem Idealismus (für einen Kollegen von mir ist alles Geist). Wären in einer solchen Sicht Steine "unterideal"? Nichts davon akzeptiere ich: Es gibt meiner Meinung nach kein Weltmaß.



In dem Video gibt es ein Argument, was sich verallgemeinern lässt: Alles, worüber man wahre oder falsche Ansichten haben kann, existiert notwendig.

Das trifft zumindest auf negative Aussagen über Nichtexistentes nicht zu. Es ist wahr, dass Pumuckl nicht existiert; aber daraus folgt natürlich nicht widersprüchlicherweise, dass Pumuckl existiert.

Im Kontext mathematischer Aussagen stellt sich die philosophische Frage nach deren Wahrheit bzw. Wahrheitswert.

SEP: Mathematischer Platonismus [Google Translate]

SEP: Mathematischer Fiktionalismus [Google Translate]

Es gibt mehrere antiplatonistische Positionen in der Philosophie der Mathematik, wovon eine der mathematische Fiktionalismus ist, welcher die platonistische Semantik akzeptiert, aber die platonistische Ontologie negiert.

"Der Fiktionalismus…ist die Ansicht, dass (a) unsere mathematischen Sätze und Theorien zwar vorgeblich von abstrakten mathematischen Objekten handeln, wie vom Platonismus behauptet, es aber (b) keine abstrakten Objekte gibt und daher (c) unsere mathematischen Theorien nicht wahr sind. Die Idee ist also, dass Sätze wie „3 ist eine Primzahl“ aus demselben Grund falsch oder unwahr sind, aus dem beispielsweise „Die Zahnfee ist großzügig“ falsch oder unwahr ist – weil es die Zahnfee genauso wenig gibt wie die Zahl 3." [Google Translate mit Änderungen meinerseits]

SEP: Fiktionalismus in der Philosophie der Mathematik [Google Translate]

Ich teile diese fiktionalistische Auffassung, sehe aber die Notwendigkeit einer ergänzenden Differenzierung:
Die mathematischen Sätze "1 + 1 = 2" und "1 + 1 = 3" sind aus fiktionalistischer Sicht aufgrund der Nichtexistenz von Zahlen (als abstrakten Objekten) beide gleichermaßen unwahr/falsch; aber es besteht nichtsdestotrotz ein relevanter Unterschied zwischen ihnen, den ich dadurch zum Ausdruck bringe, dass ich "1 + 1 = 2" mathematisch gültig und "1 + 1 = 3" mathematisch ungültig nenne.
Mathematische Gültigkeit/Ungültigkeit ist Gültigkeit/Ungültigkeit gemäß dem formalen Regelwerk der Mathematik. Der Satz "1 + 1 = 2" ist damit kohärent und folglich mathematisch gültig, wohingegen der Satz "1 + 1 = 3" damit inkohärent und folglich mathematisch ungültig ist.

Mein entscheidender Punkt ist, dass die Gültigkeit/Ungültigkeit (an sich falscher) mathematischer Sätze keine platonistische Ontologie erfordert, d.h. keine ontologisch verbindliche Setzung abstrakter mathematischer Objekte wie Zahlen.

In analoger Weise kann man sagen, dass der Satz "Die Zahnfee ist großzügig" aufgrund der Nichtexistenz der Zahnfee zwar falsch, aber mythologisch gültig ist. Ein weiteres Beispiel:

Die Sätze "Winnetou und Old Shatterhand sind befreundet" und "Winnetou und Old Shatterhand sind verfeindet" sind aufgrund der Nichtexistenz von Winnetou und Old Shatterhand zwar beide falsch, aber der erstere ist literarisch gültig und der letztere ist literarisch ungültig. Der Satz "Winnetou und Old Shatterhand sind befreundet" ist gültig, weil er im Einklang mit der Darstellung des Verhältnisses der beiden fiktiven Personen in den betreffenden Texten von Karl May steht; das heißt, es besteht Kohärenz zwischen Mays literarischen Aussagen über die beiden und der Aussage, dass Winnetou und Old Shatterhand befreundet sind.

Im Gegensatz zur Wahrheit/Falschheit einer Aussage (eines Aussagesatzes) unterliegt die Gültigkeit/Ungültigkeit einer falschen Aussage über nichtexistente Objekte oder Personen Kohärenz- oder Konsensbedingungen, und nicht (realitätsbezogenen) Korrespondenzbedingungen.

Der mathematische Satz "3 ist eine Primzahl" ist aus fiktionalistischer Sicht falsch, weil die Zahl 3 (als abstraktes Objekt) nicht existiert, und Nichtexistentes keine Eigenschaften hat; aber er ist aus meiner Sicht dennoch gültig innerhalb des theoretischen Systems der Mathematik.

Der Satz "Chewbacca ist ein Wookiee" ist falsch, weil es weder Chewbacca noch Wookiees gibt; aber er ist gültig innerhalb des fiktionalen "Sinnfeldes" von Krieg der Sterne. (Hallo, Herr Gabriel!)

Fußnote:
Ich weiß, dass Gültigkeit/Ungültigkeit in der klassischen Aussagenlogik keine Eigenschaft einzelner Aussagen/Aussagesätze, sondern von aus mehreren Aussagesätzen bestehenden Argumenten ist: Ein Argument ist genau dann gültig (engl. valid), wenn seine Konklusion logisch aus seinen Prämissen folgt. Gültigkeit bedeutet hier also argumentative Folgerichtigkeit. Oben spreche ich hingegen von Gültigkeit/Ungültigkeit als einer Eigenschaft einzelner Aussagen/Aussagesätze.

[Jörn P Budesheim]

Das trifft zumindest auf negative Aussagen über Nichtexistentes nicht zu. Es ist wahr, dass Pumuckl nicht existiert; aber daraus folgt natürlich nicht widersprüchlicherweise, dass Pumuckl existiert.

Damit ist das Argument allerdings nicht vom Tisch.

Zu behaupten, der Satz Die Erde ist rund ist wahr, und gleichzeitig die Existenz der Erde zu bezweifeln, erscheint unsinnig. Genauso erscheint es unsinnig, an der Existenz der Zahl Sieben zu zweifeln und gleichzeitig zu behaupten, dass der Satz Sieben ist eine Primzahl wahr ist.

Das halte ich für selbstverständlich richtig. Es ist wahr, dass 3 größer als 2 ist, also existieren 2 und 3. Die beiden Zahlen haben offensichtlich (unendlich viele) Eigenschaften, die 2 ist gerade, die 3 ungerade. Wie aber soll etwas, was gar nicht existiert, Eigenschaften haben? Das wäre absurd.

Der Satz "Chewbacca ist ein Wookiee" ist falsch, weil es weder Chewbacca noch Wookiees gibt; aber er ist gültig innerhalb des fiktionalen "Sinnfeldes" von Krieg der Sterne. (Hallo, Herr Gabriel!)

Er ist nicht „gültig“ innerhalb des fiktionalen „Sinnfeldes“ – das ergibt keinen Sinn –, sondern er ist wahr (im Film Star Wars, der natürlich seine eigene, ziemlich spezielle Ontologie hat, keine der Figuren würde zum Beispiel existieren, wenn es niemanden gäbe, der sich die fraglichen Filme anschaut, das gehört neben anderem zu ihren Existenzbedingungen).

„Chewbacca ist ein Wookiee“ und „Chewbacca ist kein Wookiee“ wären beide „gültig“, wenn man den Begriff schon übertragen will, weil sie beide korrekt gebildet sind und innerhalb des "Universums von StarWars sinnvoll sind. Gültigkeit ist allein eine Sache der richtigen Form.

Und auch hier geht es wie oben bei 3 und 2 um Eigenschaften, nämlich die Eigenschaft "Wookiee zu sein". Die verschwindet ja nicht, wenn man den unpassenden Ausdruck "Gültigkeit" ins Spiel bringt.

[Jörn P Budesheim]

Wichtig wird wohl auch sein, wie den Ausdruck Existenz bestimmen möchtest.

[Joker]

Wir bewegen uns hier gedanklich permanent im Zwiespalt sprachlicher Konstruktion von Logik à la “Dieser Satz ist unwahr.” - Grammatikalisch korrekt, aber eine inhaltliche Unmöglichkeit.
Im Endeffekt bleibt unsere Auffassung von Realität immer ein Modell – egal, ob wir über Zahlen, fiktionale Figuren oder das echte Leben sprechen und so bewegen wir uns immer innerhalb dieser Paradoxie des Lebens, in der unser einziger Zugang zur Realität unsere eigene Konstruktion selbiger bedeutet…
Abschließend kann man sagen, Platonismus ist Teil der menschlichen Reflexionsfähigkeit und nicht von ihr zu trennen oder böse gesagt “eine fixe Idee”.
Platon ist am Ende seiner eigenen Vorstellungskraft aufgesessen. Er hat die Nützlichkeit von Abstraktionen erkannt – und sie dann so ernst genommen, dass er ihnen gleich eine eigene Welt zuschrieb. Aus fiktionalistischer Sicht wirkt das wie ein Kategorienfehler: Er verwechselt die Landkarte mit dem Territorium. Irrwitzig komisch eigentlich – der große Realist, gefangen in seiner eigenen Fiktion.

[Jörn P Budesheim]

Platon

Platonismus bezieht sich zwar offensichtlich auf Platon. Aber das verstehe ich mehr als historische Referenz, dabei geht es in der Regel nicht im Detail um den Platonismus Platons.

Wenn ich z.b. einen Platonismus der Zahlen vertrete, dann meine ich damit einfach, dass es sich bei ihnen um abstrakte Gegenstände handelt, die tatsächlich existieren und nicht von uns konstruiert sind. Oder wie es der Fields-Medaillen-Gewinner, der Mathematiker Peter Scholze ausdrückt: "Ich denke tatsächlich, dass die Zahlen unabhängig von uns sind."

Ein moderner Platonismus in der Philosophie der Mathematik geht von folgenden drei Grundsätzen aus:

1. Mathematische Gegenstände wie Mengen, Zahlen, Relationen, Funktionen usw. existieren.
2. Mathematische Gegenstände sind unabhängig von mentalen Vorgängen.
3. Mathematische Gegenstände sind abstrakt.

[...]

Eine große Mehrheit der Mathematiker ist davon überzeugt, dass die Gegenstände, mit denen sie sich beschäftigen, unabhängig von mentaler Aktivität existieren und abstrakt sind.

[Pommesbude]

"Ich denke tatsächlich, dass die Zahlen unabhängig von uns sind."

Guten Abend,
ich sehe da drei grundlegende Probleme :
1.Was völlig unabhängig von uns ist, muss uns auch prinzipiell unzugänglich sein.
2.Was jenseits von Raum und Zeit existiert, kann in Raum und Zeit nichts bewirken.
3.Was der Welt ganz fremd ist, sollte in ihr auch keine Sprache finden können.

Vielleicht haben Menschen mit der Mathematik eine Sprache aus der Natur entwickelt, die wie ein Spiegel Strukturen abbildet, in denen Natur "passiert".

[Joker]

Danke für die Klarstellung. Aber genau da liegt für mich der Knackpunkt: Wenn man sagt “die Mehrheit der Mathematiker ist überzeugt”, dann verwechselt man Überzeugung mit Ontologie. Dass ein brillanter Kopf wie Scholze denkt, dass Zahlen unabhängig von uns existieren, beweist noch nicht, dass sie es tun – es zeigt nur, wie mächtig unsere Vorstellungskraft ist, Abstraktionen wie Tatsachen zu behandeln.

Und genau das finde ich spannend: Platonismus ist für mich nicht das Aufdecken einer ontologischen Sphäre, sondern das beste Beispiel dafür, wie der Geist seine eigenen Modelle so ernst nimmt, dass er sie für Realität erklärt. Mit Verweis auf Autoritäten oder Mehrheiten bleibt am Ende das gleiche Paradoxon: Wir können nicht aus unserer Konstruktion heraustreten, auch wenn wir sie einstimmig “wirklich” nennen.

[Pommesbude]

Und genau das finde ich spannend: Platonismus ist für mich nicht das Aufdecken einer ontologischen Sphäre, sondern das beste Beispiel dafür, wie der Geist seine eigenen Modelle so ernst nimmt, dass er sie für Realität erklärt.

Vielleicht ist der Platonismus eine der schönsten Drogen der Philosophie: Er besänftigt unsere Angst vor dem Chaos – bindet uns aber an die Vorstellung des Einen.

[Consul]

Platonismus bezieht sich zwar offensichtlich auf Platon. Aber das verstehe ich mehr als historische Referenz, dabei geht es in der Regel nicht im Detail um den Platonismus Platons.

Richtig, der zeitgenössische Platonismus in der Philosophie der Mathematik und der Metaphysik im Allgemeinen darf nicht mit den metaphysischen Theorien Platons gleichgesetzt werden.

"Platonismus ist die Auffassung, dass es abstrakte Objekte gibt – wobei (nach einer Standarddefinition) ein abstraktes Objekt ein Objekt ist, das nichträumlich, nichtzeitlich, nichtphysisch, nichtmental und nichtursächlich ist. In diesem Sinn ist der Platonismus eine zeitgenössische Auffassung. Er weist offensichtlich wichtige Ähnlichkeiten mit Platons Ansichten auf, doch es ist nicht ganz klar, ob Platon diese Auffassung vertrat, wie sie hier definiert wird." [Google Translate mit Änderungen meinerseits]

SEP: Platonismus in der Metaphysik [Google Translate]

[Consul]

Zu behaupten, der Satz Die Erde ist rund ist wahr, und gleichzeitig die Existenz der Erde zu bezweifeln, erscheint unsinnig. Genauso erscheint es unsinnig, an der Existenz der Zahl Sieben zu zweifeln und gleichzeitig zu behaupten, dass der Satz Sieben ist eine Primzahl wahr ist.

Das halte ich für selbstverständlich richtig. Es ist wahr, dass 3 größer als 2 ist, also existieren 2 und 3. Die beiden Zahlen haben offensichtlich (unendlich viele) Eigenschaften, die 2 ist gerade, die 3 ungerade. Wie aber soll etwas, was gar nicht existiert, Eigenschaften haben? Das wäre absurd.

Ja, kein Sosein ohne Dasein!
Aber es erscheint nicht unsinnig, "an der Existenz der Zahl Sieben zu zweifeln und gleichzeitig zu behaupten, dass der Satz Sieben ist eine Primzahl" (mathematisch) gültig (obgleich unwahr) ist.

Der Satz "Chewbacca ist ein Wookiee" ist falsch, weil es weder Chewbacca noch Wookiees gibt; aber er ist gültig innerhalb des fiktionalen "Sinnfeldes" von Krieg der Sterne. (Hallo, Herr Gabriel!)

Er ist nicht „gültig“ innerhalb des fiktionalen „Sinnfeldes“ – das ergibt keinen Sinn –, sondern er ist wahr (im Film Star Wars, der natürlich seine eigene, ziemlich spezielle Ontologie hat, keine der Figuren würde zum Beispiel existieren, wenn es niemanden gäbe, der sich die fraglichen Filme anschaut, das gehört neben anderem zu ihren Existenzbedingungen).

Der Satz "Chewbacca ist ein Wookiee" ist der "offiziellen" Krieg-der-Sterne-Geschichte zufolge wahr (und in diesem Sinn gültig); aber da es sich um eine fiktionale Geschichte über fiktive Personen wie Chewbacca handelt, ist sie eine falsche Geschichte. Was nur einer falschen Erzählung nach wahr ist, ist nicht (wirklich) wahr!

„Chewbacca ist ein Wookiee“ und „Chewbacca ist kein Wookiee“ wären beide „gültig“, wenn man den Begriff schon übertragen will, weil sie beide korrekt gebildet sind und innerhalb des "Universums von StarWars sinnvoll sind. Gültigkeit ist allein eine Sache der richtigen Form.

Wie bereits erklärt, das meine ich nicht mit der Gültigkeit einer (falschen) Aussage. Der Satz „Chewbacca ist ein Wookiee“ ist im relevanten Kontext gültig, weil er im inhaltlichen Einklang mit der Krieg-der-Sterne-Geschichte steht; und der Satz „Chewbacca ist kein Wookiee“ ist entsprechend ungültig, weil er damit nicht im Einklang steht. Beide Sätze sind jedoch aus dem bereits genannten Grund falsch.

Und auch hier geht es wie oben bei 3 und 2 um Eigenschaften, nämlich die Eigenschaft "Wookiee zu sein". Die verschwindet ja nicht, wenn man den unpassenden Ausdruck "Gültigkeit" ins Spiel bringt.

Ich halte diesen Ausdruck für geeignet; und die Eigenschaft des Wookieeseins existiert genauso wenig wie Wookiees.

[Consul]

Wichtig wird wohl auch sein, wie den Ausdruck Existenz bestimmen möchtest.

Ich bezweifle, dass sich dieser Grundbegriff in erhellender Weise definieren lässt, d.h. durch noch einfachere und besser verständliche Begriffe.
Wenn ich etwas als nichtexistent bezeichne, dann meine ich damit, dass es bloß/nur oder nichts weiter als etwas Gedachtes/Vorgestelltes ist.
Daraus folgt jedoch nicht, dass die Existenz von etwas darin besteht, nicht bloß/nur oder mehr als etwas Gedachtes/Vorgestelltes zu sein, da es viele ungedachte/unvorgestellte Dinge gibt.

[Jörn P Budesheim]

ich sehe da drei grundlegende Probleme :
1.Was völlig unabhängig von uns ist, muss uns auch prinzipiell unzugänglich sein.
2.Was jenseits von Raum und Zeit existiert, kann in Raum und Zeit nichts bewirken.
3.Was der Welt ganz fremd ist, sollte in ihr auch keine Sprache finden können.

Vielleicht haben Menschen mit der Mathematik eine Sprache aus der Natur entwickelt, die wie ein Spiegel Strukturen abbildet, in denen Natur "passiert".

"1. Was völlig unabhängig von uns ist, muss uns auch prinzipiell unzugänglich sein." – Der Stein auf der Straße existiert unabhängig von mir; ob ich es glaube oder nicht, er ist kein Produkt meiner Vorstellung. Ähnlich verhält es sich mit Zahlen: Sie sind keine mentalen Konstrukte. Aus dieser Unabhängigkeit folgt nicht, dass sie uns unzugänglich wären, weder beim Stein noch bei den Zahlen.

"2. Was jenseits von Raum und Zeit existiert, kann in Raum und Zeit nichts bewirken." – Zahlen existieren nicht „jenseits“ von Raum und Zeit; der Begriff „jenseits“ ist räumlich zu verstehen und trifft auf Zahlen nicht zu. Richtig ist, dass Zahlen keine kausale Kraft besitzen – das gehört nicht zu ihrem Wesen.

"3. Was der Welt ganz fremd ist, sollte in ihr auch keine Sprache finden können." – Zahlen sind der Welt nicht fremd, und daher haben wir auch eine Sprache dafür gefunden. Ein geflügeltes Wort spricht von der „The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences“. Es mag ein Rätsel sein, aber es spricht nicht wirklich dafür, dass Zahlen der Welt ganz fremd sind, oder?

Vielleicht haben Menschen die Mathematik als eine Art Sprache aus der Natur entwickelt, die Strukturen widerspiegelt, in denen Natur „passiert“. – Ich bin kein Mathematiker, ich weiß daher nur vom Hörensagen, dass die mathematische Welt äußerst vielfältig ist. Vieles darin eignet sich auf einzigartige Weise, die physikalische Welt zu beschreiben – btw: ein starkes Argument für die Realität der Zahlen –, aber längst nicht alles.

[Jörn P Budesheim]

Vielleicht ist der Platonismus eine der schönsten Drogen der Philosophie: Er besänftigt unsere Angst vor dem Chaos – bindet uns aber an die Vorstellung des Einen.

Der Platonismus der Zahlen bindet mich nicht an die Vorstellung des Einen. Im Gegenteil, er ist für mich ein Teil der Vorstellung, dass die Wirklichkeit in sich selbst bunt und vielfältig ist. Der Platonismus der Zahlen ist Teil meines Pluralismus.

[Jörn P Budesheim]

Danke für die Klarstellung. Aber genau da liegt für mich der Knackpunkt: Wenn man sagt “die Mehrheit der Mathematiker ist überzeugt”, dann verwechselt man Überzeugung mit Ontologie. Dass ein brillanter Kopf wie Scholze denkt, dass Zahlen unabhängig von uns existieren, beweist noch nicht, dass sie es tun – es zeigt nur, wie mächtig unsere Vorstellungskraft ist, Abstraktionen wie Tatsachen zu behandeln.

Und genau das finde ich spannend: Platonismus ist für mich nicht das Aufdecken einer ontologischen Sphäre, sondern das beste Beispiel dafür, wie der Geist seine eigenen Modelle so ernst nimmt, dass er sie für Realität erklärt. Mit Verweis auf Autoritäten oder Mehrheiten bleibt am Ende das gleiche Paradoxon: Wir können nicht aus unserer Konstruktion heraustreten, auch wenn wir sie einstimmig “wirklich” nennen.

Ich hoffe, ich habe Überzeugung nicht mit Ontologie verwechselt Dass ein brillanter Kopf wie Scholze denkt, Zahlen existierten unabhängig von uns, beweist das natürlich noch nichts. Dennoch sehe ich darin ein wichtiges Indiz. Wir befinden uns hier in einem klassischen Indizien-Prozess: Je mehr gute Indizien man hat, desto plausibler erscheint eine Behauptung.

Ein Beispiel: Ich schaue aus dem Fenster und sehe: „Die Straße ist nass.“ Das beweist zwar nicht, dass es geregnet hat, liefert aber ein gutes Indiz. Sehe ich zudem, dass die Leute alle Schirme dabei haben, ist das ein weiteres Indiz – auch kein Beweis, aber zusammen schon ziemlich stark. Kommt dann noch meine Frau herein, pitschnass, und berichtet, wie stark es geregnet hat, haben wir erneut ein Indiz. Auch dies ist kein absoluter Beweis – aber die Gesamtheit der Indizien macht die Annahme, dass es geregnet hat, sehr plausibel.

Dass ein brillanter Kopf, wie Scholz glaubt, Zahlen seien unabhängig von ist, ist nur ein Indiz und sicher kein Beweis – keine Frage. Aber es gibt viele Indizien, die für die den Platonismus der Zahlen sprechen. Ich hoffe, ich komme in Kürze dazu, die wichtigsten zusammenzutragen.

[Joker]

Das Bild mit dem Regen gefällt mir – nur sehe ich darin genau die Differenz: Ob es geregnet hat, kann ich empirisch prüfen. Die Straße, die Schirme, das Zeugnis deiner Frau – alles sind Beobachtungen innerhalb der Welt. Aber Zahlen als ‚abstrakte Entitäten‘ bleiben prinzipiell unbeobachtbar. Wir behandeln ihre Kohärenz wie Indizien, doch sie verweisen nie auf etwas außerhalb unseres eigenen Denkens.

Vielleicht ist das der eigentliche Punkt: Indizien können uns in der Welt plausibel zum Regen führen – aber sie führen uns nie aus der Konstruktion hinaus. Platonismus erscheint mir deshalb eher als ein Spiegel unserer Denkgewohnheiten: Wir lesen unsere eigenen Muster und erklären sie für ontologisch unabhängig.

[Jörn P Budesheim]

Ob es geregnet hat, kann ich empirisch prüfen

Oh, hier ist etwas schief gelaufen. Ich wollte kein Argument vorlegen, was zeigt, dass wir alles nur empirisch prüfen können. Das war keineswegs meine Absicht. Und das glaube ich natürlich auch nicht. Ich wollte etwas ganz anderes zeigen, nämlich, dass wir auch ohne Beweise in der Regel dazu kommen, Dinge für plausibel zu halten. Das bezog sich auf deinen Einwand hier: "Dass ein brillanter Kopf wie Scholze denkt, dass Zahlen unabhängig von uns existieren, beweist noch nicht, dass sie es tun." Ja, das ist kein Beweis, aber es besagt auch nicht nichts. Und das wollte ich zeigen.

Und auch der Umstand, dass gemäß Jörg Neunhäuserer “die Mehrheit der Mathematiker" überzeugt ist, dass Zahlen wirklich sind, ist zwar kein endgültiger Beweis, aber durchaus etwas, was man nicht einfach von der Hand weisen kann.

Ich will versuchen, dass ich in den nächsten Tagen mal die zentralen Argumente für den Platonismus der Zahlen zusammentrage.

[Pommesbude]

"1. Was völlig unabhängig von uns ist, muss uns auch prinzipiell unzugänglich sein." – Der Stein auf der Straße existiert unabhängig von mir; ob ich es glaube oder nicht, er ist kein Produkt meiner Vorstellung. Ähnlich verhält es sich mit Zahlen: Sie sind keine mentalen Konstrukte. Aus dieser Unabhängigkeit folgt nicht, dass sie uns unzugänglich wären, weder beim Stein noch bei den Zahlen.

"2. Was jenseits von Raum und Zeit existiert, kann in Raum und Zeit nichts bewirken." – Zahlen existieren nicht „jenseits“ von Raum und Zeit; der Begriff „jenseits“ ist räumlich zu verstehen und trifft auf Zahlen nicht zu. Richtig ist, dass Zahlen keine kausale Kraft besitzen – das gehört nicht zu ihrem Wesen.

"3. Was der Welt ganz fremd ist, sollte in ihr auch keine Sprache finden können." – Zahlen sind der Welt nicht fremd, und daher haben wir auch eine Sprache dafür gefunden. Ein geflügeltes Wort spricht von der „The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences“. Es mag ein Rätsel sein, aber es spricht nicht wirklich dafür, dass Zahlen der Welt ganz fremd sind, oder?

Zu 1. Du verweist auf einen physischen Gegenstand und vergleichst ihn mit einem abstrakten Objekt. Das ist ein Kategorienfehler. Der Stein existiert in Raum und Zeit, ist sinnlich erfahrbar und steht in kaussalen Beziehungen – Zahlen tun das nicht. Wenn Zahlen wirklich unabhängig von uns existieren – außerhalb von Kognition, Erfahrung oder Sprache - wie ist uns dann überhaupt Zugang zu ihnen möglich ?
Zu 2. Wenn Zahlen keine kausale Kraft besitzen - dann sind sie nicht Teil der Welt, sondern Teil eines symbolischen Systems, das wir zur Beschreibung dieser Welt verwenden. Man kann nicht zugleich sagen, Zahlen seien real, und behaupten, sie hätten keinerlei kausale Verbindung zur Welt. Entweder sie sind Teil der Welt – dann müssten sie irgendeine Form von Wirkung zeigen –, oder sie sind es nicht, dann sind sie nützliche Werkzeuge des Denkens.
Zu 3. Wenn Zahlen der Welt nicht fremd sind, dann existieren sie auch nicht unabhängig außerhalb von Kognition, Erfahrung oder Sprache. Wenn die Biologe ein Mikroskop entwickelt, das bestimmte Zellstrukturen sichtbar macht, dann ist das eine gezielte Hervorbringung eines Instruments, das sich an der Struktur des Beobachteten ausrichtet. Genauso könnte die Mathematik ein kognitives Mikroskop sein – wir haben sie so entwickelt, dass sie möglichst viele Muster in der Welt sichtbar macht. Das erklärt ihre Effektivität.

Es glauben und glaubten auch viele Theologen, darunter zweifellos brillante Köpfe, an die unabhängige Existenz Gottes. Ob das jetzt Indiz ist oder nicht, ist wohl eine Frage des Glaubens.

[Timberlake]

Platon ist am Ende seiner eigenen Vorstellungskraft aufgesessen. Er hat die Nützlichkeit von Abstraktionen erkannt – und sie dann so ernst genommen, dass er ihnen gleich eine eigene Welt zuschrieb. Aus fiktionalistischer Sicht wirkt das wie ein Kategorienfehler: Er verwechselt die Landkarte mit dem Territorium. Irrwitzig komisch eigentlich – der große Realist, gefangen in seiner eigenen Fiktion.

Ich denke Platon hat, wenn schon denn schon, dem Territorium eine Landkarte zur Orientierung zugewiesen.

Platonische Ideenlehre

Ideenwelt: Die metaphysische Sphäre, in der die vollkommenen und unveränderlichen Formen existieren, die Platon als wahre Realität betrachtet.

Beispiel: Ein Kreis in der physischen Welt ist niemals perfekt. Alle Kreise, die Du zeichnest oder siehst, sind nur Annäherungen an die perfekte Idee eines Kreises, die in der Ideenwelt existiert.

Einer Landkarte, weil ... "in der die vollkommenen und unveränderlichen Formen existierend" .. die Platon, im Vergleich zur .. "physischen Welt" ... des Territoriums, als wahre Realität betrachtet. Wie bei einem Kreis, so kann auch ein Territorium niemals perfekt sein. Alle Territorien, die du siehst, sind nur eine Annäherung, an die perfekte Landkarte eines Territoriums, das in der Landkartenwelt existiert.

"1. Was völlig unabhängig von uns ist, muss uns auch prinzipiell unzugänglich sein." – Der Stein auf der Straße existiert unabhängig von mir; ob ich es glaube oder nicht, er ist kein Produkt meiner Vorstellung.

Zu 1. Du verweist auf einen physischen Gegenstand und vergleichst ihn mit einem abstrakten Objekt. Das ist ein Kategorienfehler. Der Stein existiert in Raum und Zeit, ist sinnlich erfahrbar und steht in kaussalen Beziehungen –

@Pommesbude

Ist denn für dich dieser Vergleich eines Territoriums bzw. eines gezeichneten Kreises (physischen Gegenstand) mit einer Landkarte, wohlgemerkt des Territoriums bzw. mit der Idee eines Kreises, wohlgemerkt des gezeichneten Kreises (abstraktes Objekt) auch ein Kategorienfehler?



Für den Fall, dass es so wäre, so würde ich dich damit übrigens zu jenen zählen, die da in diesem Video angekettet sind. Das Gleiche träfe allerdings mit der von ihm, bei Platon unterstellten Verwechselung von einer Landkarte mit dem Territorium, auch auf Joker zu. Irrwitzig komisch eigentlich – die großen Realisten Pommesbude und Joker, als solches gefangen in einer Fiktion, von Schatten an einer Höhlenwand.

[Consul]

"2. Was jenseits von Raum und Zeit existiert, kann in Raum und Zeit nichts bewirken." – Zahlen existieren nicht „jenseits“ von Raum und Zeit; der Begriff „jenseits“ ist räumlich zu verstehen und trifft auf Zahlen nicht zu. …

Ja, strenggenommen muss man es so ausdrücken: Abstrakte Objekte befinden sich nicht innerhalb von Raum und Zeit. Sie befinden sich nicht in dem Sinn außerhalb davon, dass sich in einem anderen Raum oder einer anderen Zeit befinden. Abstrakte Zahlen haben keinen Ort in einem höherdimensionalen Hyperraum, weil sie in keinerlei Art von Raum lokalisiert sind.

[Joker]

Klar, Indizien sind nicht nichts – aber sie verweisen bei Zahlen nie nach außen, sondern immer nur in unser eigenes Denken hinein. Genau das ist ja mein Punkt: Wir verwechseln Plausibilität mit Ontologie. Vielleicht macht Platonismus das Denken nicht wahrer, sondern nur selbstbewusster.