Mathematik-Ecke

[Jörn Budesheim]

Übrigens: Descartes war nicht nur ein bedeutender Philosoph, sondern auch ein wichtiger Mathematiker und "nebenbei" führte er eine Reihe von Symbolen, wie das Gleichheitszeichen (=), das Wurzelzeichen (√) oder die Exponentialschreibweise (xⁿ), ein, die für die Entwicklung der symbolischen Sprache der Mathematik von großer Bedeutung waren.

[Quk]

Faszinierend. Das mit den Gleichheits- und Wurzelzeichen wusste ich nicht. Mit was für Zeichen schrieb Pythagoras seinen Satz?

[Jörn Budesheim]

So:? In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Längen der beiden Katheten.

Ich meine, ich hätte mal irgendwo gelesen, dass über lange Zeit einfach ganz normale Texte geschrieben wurden, aber sicher bin ich nicht. Ich habe kurz in meiner Einführung für Mathematik gesucht, habe es aber auf die Schnelle nicht gefunden.

Wie ging es anders? So:? Wenn A gleich B ist und B gleich C ist, dann ist A gleich C. Oder so:? Wenn zwei Dinge gleich einem dritten sind, so sind sie auch einander gleich.

[Jörn Budesheim]

Apropos die Descartes: In Bezug auf den ontologischen Status der Zahlen war Descartes übrigens Realist, aber kein Platoniker: Die Gegenstände der Mathematik sind bei Descartes quantitative Eigenschaften der Welt der ausgedehnten Körper. Diese existieren unabhängig von der Welt der Gedanken. Allerdings führt das zu einem (bekannten) Problem: Wenn mathematische Wahrheiten für Descartes mit der materiellen Welt (der res extensa) verknüpft sind, dann würden sie verschwinden, wenn die Welt verschwindet. 7 + 5 wäre dann nicht mehr = 12.

[Quk]

"In der antiken und mittelalterlichen Mathematik wurde die Gleichheit zweier Ausdrücke noch wörtlich (z. B. est egale für „ist gleich“) hingeschrieben."

Weitere Details zur Geschichte des Gleichheitszeichens:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichhei ... Geschichte

[Wolfgang Endemann]

Man kann alles mathematisch symbolisieren. Allerdings ändert man dann möglicherweise den Sinn. Die Aussage
"A gleich A, und wenn A gleich B und B gleich C, dann ist A gleich C, und heute morgen ist wieder die Sonne aufgegangen, und 5 und 7 sind 12" würde lauten:
A≡A ˄ (A=B˄B=C→A=C) ˄V(s: s(x₀,y₀,z₀,t₀)˄SS(s)) ˄ 5+7=12.
Ich möchte dazu bemerken:
1. hier wurden zwei Bedeutungen von "und" und "gleich" präzisiert: ˄ und + sowie = und ≡. Die Identität ist eine absolute Notwendigkeit, Gleichheit (=) ist dagegen eine axiomatisch festzulegende Relation, A=B˄B=C→A=C muß nicht sein, es gibt algebraische Strukturen ohne Transitivität. Und die Aussagenverknüpfung ˄ hat nichts zu tun mit der arithmetischen Verknüpfung +.
2. Während die anderen Teile der Konjunktion logisch-mathematische Aussagen sind, ist die Aussage über das Sonnensystem SS und die Erde s in ihm eine Aussage über die reale Welt. In ihr gibt es ein s, das mit sich identisch ist über alle Raumzeitpunkte s₀=s(x₀,y₀,z₀,t₀) ≡ s(x,y,z,t) und die Koinzidenz von s₀ und SS, empirische Sachverhalte.

[Jörn Budesheim]

Drei Philosophen gehen in ein Restaurant. Der Kellner fragt: „Möchten alle einen Kaffee?“ Der erste Philosoph sagt: „Ich weiß nicht.“ Der zweite sagt: „Ich weiß nicht.“ Der dritte sagt: „Ja!“ Was ist passiert?

[Wolfgang Endemann]

Drei Philosophen gehen in ein Restaurant. Der Kellner fragt: „Möchten alle einen Kaffee?“ Der erste Philosoph sagt: „Ich weiß nicht.“ Der zweite sagt: „Ich weiß nicht.“ Der dritte sagt: „Ja!“ Was ist passiert?

Falsch. Die ersten zwei könnten Philosophen sein, der dritte ist mit Sicherheit kein Philosoph. Richtig wäre der Trialog, wenn es sich um drei Mathematiker oder Logiker handelte. Denn der erste kann nur "ich weiß nicht" sagen, wenn er einen Kaffee will, sonst müßte er "nein" sagen, das gleiche gilt für den zweiten, und wenn der dritte einen Kaffee will, weiß er, daß alle einen Kaffee wollen. Philosophen würden jedoch auch sagen "ich weiß nicht", wenn sie unentschlossen wären. Und Philosophen sind in der Regel unentschlossen, weil sie nicht Menschen der Tat sind, sondern Menschen der reflektierenden Tatverzögerung.

[Jörn Budesheim]

Falsch.

Nach "Nein" deine Lieblingsantwort, oder? Wo doch Philosophen gemäß deiner eigenen Auskunft, eher "ich weiß nicht" sagen.

[Jörn Budesheim]

Das Rätsel gehört vielleicht eher die Abteilung Humor, ich finde es auf jeden Fall lustig, könnte eine schöne Szene in einem Film sein!

[Quk]

Richtig wäre der Trialog, wenn es sich um drei Mathematiker oder Logiker handelte.

Falsch. Es handelt sich um Tick, Trick und Track; das sind alle drei Pfadfinder und kennen die Frage aus dem Handbuch vom Fähnlein Fieselschweif.

[Wolfgang Endemann]

Falsch.

Nach "Nein" deine Lieblingsantwort, oder? Wo doch Philosophen gemäß deiner eigenen Auskunft, eher "ich weiß nicht" sagen.

Würde ich nicht sagen. Philosophen sind ja Leute der Tatverzögerung, aber nicht der Gedankenverzögerung. Wenn Du Logiker aus der Fraktion der Philosophen ausschließen möchtest, hast Du recht. Denn Logiker kennen nur ja und nein, wahr und falsch. Aber in dem vorgestellten Rätsel geht es genau um diese Frage, es muß von einem Logiker beantwortet werden. Was hast Du Dir denn stattdessen vorgestellt? Kann der Humor/Scherz der Frage philosophisch anders beantwortet werden? Naja, vielleicht durch Lachen.
Übrigens habe ich eine hübsche Scherzfrage mit einer Scherzantwort repliziert. Mein Humor ist nicht jedermanns Sache, ich weiß.

[Stefanie]

Vorweg. Mathematische Probleme sind nicht meine Welt.
Ab und an lese ich mal einen Artikel (der nicht ausschließlich an Expert*innen gerichtet), der sich mit einem mathematischen Problem befasst und verstehe nicht immer alles.

Wie bei diesem Artikel, der sich mit dem Auswahlaxiom befasst. Die Autorin unterlegt Ihre Ausführungen mit einem Beispiel aus dem alltäglichen Leben. Dieses Beispiel finde ich einer Stelle etwas ..komisch. Wahrscheinlich nur eine Nebensache.

https://www.spektrum.de/kolumne/groesst ... en/2229510

"Backen ist leider so gar nicht meine Stärke. Wenn ich also nachmittags Besuch bekomme, flitze ich kurz vorher in eine Bäckerei und habe dann nur noch die Qual der Wahl. Angesichts der riesigen Auswahl an appetitlichen Kuchen und Torten fällt es mir meistens schwer, mich zu entscheiden. Meine Strategie besteht in der Regel darin, zu sagen: »Ach, packen Sie mir doch von jedem eins ein.«

Ein, was Anfang des 20. Jahrhunderts die Mathematik-Community wirklich gespalten hat – und es teilweise noch heute tut –, ist das so genannte Auswahlaxiom. Dabei handelt es sich um eine unbewiesene Grundwahrheit. Sie besagt, dass ich genau das Geschilderte machen kann: von beliebig vielen verschiedenen Kuchen und Torten genau ein Stück auswählen und mit nach Hause nehmen.

Aus ihrer Bemühung entstand das so genannte Zermelo-Fraenkel-Axiomensystem, bestehend aus acht Grundwahrheiten. All diese Axiome besagen, dass es bestimmte Mengen gibt, beispielsweise die leere Menge oder die Potenzmenge einer Menge. Und diese sind durch die Axiome stets eindeutig festgelegt. Doch der Mathematiker Ernst Zermelo merkte schnell, dass diese acht Grundwahrheiten nicht ausreichen. 1904 führte er daher auch noch das Auswahlaxiom ein.[/quote]

Dann überträgt die Autorin die Diskussion wieder auf das Kuchenbeispiel:

Das Auswahlaxiom erlaubt es, aus einer Reihe von nichtleeren Mengen jeweils ein Element auszuwählen. So, wie ich beim Bäcker eine Kostprobe mehrerer Kuchen haben kann. Es scheint zunächst nur natürlich, dass das möglich ist. Allerdings begrenzt sich das Auswahlaxiom nicht auf endliche Fälle: Auch wenn es unendlich viele Kuchen gibt, erlaubt es das Auswahlaxiom, je ein Stück herauszugreifen. Das Axiom besagt, dass es eine Vorschrift gibt, die ich dem Bäcker mitteilen kann, so dass ich jeden Kuchen probieren kann. Eine solche Vorschrift wäre etwa: »Bitte geben Sie mir von jedem Kuchen das Randstück.« Damit hat die Person hinter der Bäckertheke eine eindeutige Anweisung, die sie befolgen kann. Wenn ich aber an kreisrunden Torten interessiert bin, ist das weniger einfach: Ich kann nur sagen, dass ich gerne ein Stück von jeder Torte hätte – aber ich kann nicht genau angeben, welches ich möchte, da die Tortenstücke ununterscheidbar sind.
Und genau das störte viele Fachleute. Das Auswahlaxiom ist anders als die übrigen Axiome, die eine eindeutig definierte Menge vorhersagen. Ihm zufolge existiert eine »Auswahlfunktion« (eine Anweisung, die ich dem Bäcker mitteile), ohne dass man weiß, wie diese aussehen könnte.

Soweit zu gut.
Mein kleines Problemchen ist jetzt der fett markierte und unterstrichene Satz.
Wieso sind die Tortenstücke ununterscheidbar? Meint sie alle Stücke sind identische, alle sind gleich, oder? Wo ist der Unterschied zu unenterscheidbar. Wohlgemerkt innerhalb einer Torte. Sagen wir mal eine Himbeertorte, dekoriert. Die Tortenstücke sind doch unterscheidbar, bei dem einem Stücke ist die Himbeere etwas größer, als bei dem anderen, das Sahnehäubchen ist nicht ganz so perfekt, ist ein Schriftzug auf der Torte, ist auf dem einen Stück ein E, auf dem anderen ein G usw.

Ist es beim Auswahlaxiom notwendig so, dass die Menge ununterscheidbar ist? Wohl nicht, so wie ich es verstanden habe. Oder?

[Wolfgang Endemann]

Ist es beim Auswahlaxiom notwendig so, dass die Menge ununterscheidbar ist? Wohl nicht, so wie ich es verstanden habe. Oder?

Die Mengenlehre setzt zur korrekten Mengenbildung die Wohlunterschiedenheit der Elemente einer Menge voraus. Also ist {3,1,4,7,1,6,9} keine korrekt gebildete Menge, korrekt wäre {4,1,9,3,6,7}, und dann gibt es noch den Unterschied dieser korrekt gebildeten und einer korrekt gebildeten geordneten Menge: {1,3,4,6,7,9}.

Die Frage der Wahrheit oder Unwahrheit des Auswahlaxioms anhand des Kuchenbäckerbeispiels zu erläutern, ist der Versuch, etwas anschaulich zu machen, das nicht anschaulich ist. Im Grunde ist diese Veranschaulichung sinnlos, denn das Problem entsteht nicht bei extensional verorteten Gegenständen, die immer im Sinn der Raumzeitordnung geordnet sind, und daher, wenn sie geteilt werden, immer unterscheidbare Dinge bleiben, jede Auswahl also wohlunterschiedene Objekte liefert. Das Problem entsteht erst bei einer unendlichen Zahl mathematischer Objekte, die sich nicht so ordnen lassen, daß eine Auswahlvorschrift möglich ist, die eindeutig ein ausgewähltes Objekt liefert.

Da wir wissen, daß es in einem hinreichend reichhaltigen Zahlensystem Zahleneigenschaften gibt, die nicht entscheidbar sind, kann ich mit solchen Eigenschaften Objekte definieren, die es gar nicht, eindeutig oder mehrfach geben könnte. Wenn ich etwa weiß, daß es immer ein Objekt gibt mit meiner Eigenschaft, kann ich es auswählen, wenn ich das Auswahlaxiom (im Folgenden AA genannt) voraussetze, und kann mit diesem Objekt weiterarbeiten, wenn ich kein AA habe, kann ich das nicht. So komme ich zu unterschiedlichen Theorien. Welche ist richtig? Das kann ich nicht entscheiden, wenn ich mich nicht festlege, ob ich das AA anerkenne oder nicht. Wenn ich es anerkenne, komme ich zu einer Theorie, wenn ich es nicht anerkenne, komme ich zu einer anderen. Beide widersprechen sich nur darin, daß es in der einen Theorie (mit AA) Wahrheiten gibt, die in der anderen nicht gelten. Kann ich zeigen, daß es weder durch die Annahme der Zahleigenschaft noch durch die gegenteilige Annahme in meiner Zahlentheorie zu einem Widerspruch kommt, kann ich zwei widerspruchsfreie Theorien bilden, die sich widersprechen, also nach einem klassischen Verständnis der Wahrheit nicht beide gültig sein können, aber sie sind es, obwohl in der einen Theorie (mit AA) eine Aussage gemacht werden kann, die in der andere (mit AA) beweisbar falsch ist. Ohne AA ist weder die Aussage noch ihr Gegenteil beweisbar.

Dies zeigt deutlich den Unterschied eines formalen von einem inhaltlichen Wahrheitsbegriff.

[Jörn Budesheim]

Wie addiert man die Zahlen von 1 bis 100 mit vergleichsweise geringen Aufwand? Wer kennt den Trick?

[Wolfgang Endemann]

Ist das eine Scherzfrage?
In der Schule lernen wir die einfachste Methode, das schriftliche Addieren, da spielt es übrigens keine Rolle, wie vielstellig die Zahlen sind. Mündlich, im Kopf, kann man selbstverständlich nur kleinere Zahlen ausrechnen, also etwa Zahlen unter 100. Da dreht man das Addieren um, zu einer Zahl mit den Ziffern ab addiert man cd erst durch Addieren von ab und c0, also (a+c)b, und dann (a+c)(b+d), falls b+d<10, sonst (a+c+1)(b+d-10).

[Jörn Budesheim]

Nein, keine Scherzfrage. Es gibt eine schöne und elegante Lösung.

[Stefanie]

Ich weiß von wem die Lösung ist. Sie ist mir leider nicht mehr ganz in meiner Erinnerung und müsste googlen.
Darf ich den Namen nennen?

[Burkart]

Bekannt ist natürlich die Formel n*(n+1)/2, die relativ leicht zu veranschaulichen ist, wenn man (1+100) + (2+99) usw. rechnet. Insofern für den einen oder anderen Mathe-Fan wohl eine Scherzfrage

Jörn und Stefanie: Habt ihr Wolfgangs Erklärung verstanden?
Wenn nicht, wäre ich nicht überrascht. Aber vielleicht täusche ich mich ja?

[Quk]

Wie addiert man die Zahlen von 1 bis 100 mit vergleichsweise geringen Aufwand? Wer kennt den Trick?

Den Trick kenne ich aus der Romanverfilmung "Die Vermessung der Welt", da bekommt der kleine Gauss, weil er das so schnell ausrechnete und womöglich schummelte, vom Lehrer eine Ohrfeige.